2023届江苏省常州市常州高级中学高考仿真卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设平面与平面相交于直线，直线在平面内，直线在平面内，且则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分不必要条件 2．若实数满足不等式组则的最小值等于（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A． B． C． D． 4．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P﹣1（其中p是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．若x，y满足约束条件则z=的取值范围为（ ） A．[] B．[，3] C．[，2] D．[，2] 6．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.某“堑堵”的三视图如图，则它的外接球的表面积为（ ） A．4π B．8π C． D． 7．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ） A． B． C． D． 8．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a的值为（ ） A． B．3 C．1 D． 9．在直角坐标系中，已知A（1，0），B（4，0），若直线x+my﹣1=0上存在点P，使得|PA|=2|PB|，则正实数m的最小值是( ) A． B．3 C． D． 10．已知集合，，则 A． B． C． D． 11．已知双曲线的右焦点为，若双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且点到该渐近线的距离为，则双曲线的实轴的长为 A． B． C． D． 12．在中，是的中点，，点在上且满足，则等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．对任意正整数，函数，若，则的取值范围是_________；若不等式恒成立，则的最大值为_________． 14．在矩形中，，为的中点，将和分别沿，翻折，使点与重合于点.若，则三棱锥的外接球的表面积为_____. 15．（5分）已知，且，则的值是____________． 16．已知函数，且，，使得，则实数m的取值范围是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，它的导函数为． （1）当时，求的零点； （2）当时，证明：． 18．（12分）已知凸边形的面积为1，边长，，其内部一点到边的距离分别为.求证：. 19．（12分）在数列中，已知，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 20．（12分）已知函数. （1）当时. ①求函数在处的切线方程； ②定义其中，求； （2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围. 21．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若，求证：对于任意，. 22．（10分）已知在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项的和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 试题分析：α⊥β， b⊥m又直线a在平面α内，所以a⊥b，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A. 考点：充分条件、必要条件. 2、A 【答案解析】 首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值． 【题目详解】 解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分） 由得， 由得，平移， 易知过点时直线在上截距最小， 所以． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题． 3、C 【答案解析】 结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【题目详解】 A：为非奇非偶函数，不符合题意； B：在上不单调，不符合题意； C：为偶函数，且在上单调递增，符合题意； D：为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题. 4、C 【答案解析】 模拟程序的运行即可求出答案． 【题目详解】 解：模拟程序的运行，可得： p＝1， S＝1，输出S的值为1， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝3，S＝7，输出S的值为7， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝5，S＝31，输出S的值为31， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝7，S＝127，输出S的值为127， 满足条件p≤7，执行循环体，p＝9，S＝511，输出S的值为511， 此时，不满足条件p≤7，退出循环，结束， 故若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是5， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查程序框图，属于基础题． 5、D 【答案解析】 由题意作出可行域，转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数，数形结合即可得解. 【题目详解】 由题意作出可行域，如图， 目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数， 由图可知，直线的斜率最小，直线的斜率最大， 由可得，由可得， 所以，，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了非线性规划的应用，属于基础题. 6、B 【答案解析】 由三视图判断出原图，将几何体补形为长方体，由此计算出几何体外接球的直径，进而求得球的表面积. 【题目详解】 根据题意和三视图知几何体是一个底面为直角三角形的直三棱柱，底面直角三角形的斜边为2，侧棱长为2且与底面垂直，因为直三棱柱可以复原成一个长方体，该长方体外接球就是该三棱柱的外接球，长方体对角线就是外接球直径，则，那么. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查三视图还原原图，考查几何体外接球的有关计算，属于基础题. 7、C 【答案解析】 由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，，则函数的周期是， 所以，， 又函数为上的奇函数，且当时，， 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题. 8、D 【答案解析】 整理复数为的形式,由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解. 【题目详解】 由题,, 因为纯虚数,所以,则, 故选:D 【答案点睛】 本题考查已知复数的类型求参数范围,考查复数的除法运算. 9、D 【答案解析】 设点，由，得关于的方程.由题意，该方程有解，则，求出正实数m的取值范围，即求正实数m的最小值. 【题目详解】 由题意，设点. ， 即， 整理得， 则，解得或. . 故选：. 【答案点睛】 本题考查直线与方程，考查平面内两点间距离公式，属于中档题. 10、C 【答案解析】 分析：根据集合可直接求解. 详解：, , 故选C 点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 11、B 【答案解析】 双曲线的渐近线方程为，由题可知． 设点，则点到直线的距离为，解得， 所以，解得，所以双曲线的实轴的长为，故选B． 12、B 【答案解析】 由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解． 【题目详解】 解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线， 又由点P在AM上且满足 ∴P是三角形ABC的重心 ∴ 又∵AM＝1 ∴ ∴ 故选B． 【答案点睛】 判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 将代入求解即可；当为奇数时,,则转化为,设,由单调性求得的最小值；同理,当为偶数时,,则转化为,设,利用导函数求得的最小值,进而比较得到的最大值. 【题目详解】 由题,,解得. 当为奇数时,,由,得, 而函数为单调递增函数,所以,所以； 当为偶数时,,由,得, 设, ,单调递增, ,所以, 综上可知,若不等式恒成立,则的最大值为. 故答案为:(1)；(2) 【答案点睛】 本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想. 14、. 【答案解析】 计算外接圆的半径，并假设外接球的半径为R，可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上，然后根据面，即可得解. 【题目详解】 由题意可知，， 所以可得面， 设外接圆的半径为， 由正弦定理可得，即，， 设三棱锥外接球的半径， 因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点， 则， 所以外接球的表面积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球的应用，属于中档题. 15、 【答案解析】 由于，且，则，得，则． 16、 【答案解析】 根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集；分别求值域即可得到结论. 【题目详解】 解：依题意，， 即函数在上的值域是函数在上的值域的子集. 因为在上的值域为（）或（）， 在上的值域为， 故或， 解得 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2）证明见解析. 【答案解析】 当时，求函数的导数，判断导函数的单调性，计算即为导函数的零点； 当时，分类讨论x的范围，可令新函数，计算新函数的最值可证明． 【题目详解】 (1)的定义域为 当时，，， 易知为上的增函数， 又， 所以是的唯一零点； (2)证明：当时，， ①若，则， 所以成立， ②若，设，则， 令，则， 因为，所以， 从而在上单调递增， 所以， 即，在上单调递增； 所以，即， 故. 【答案点睛】 本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用． 18、证明见解析 【答案解析】 由已知，易得，所以利用柯西不等式和基本不等式即可证明. 【题目详解】 因为凸边形的面积为1，所以， 所以 （由柯西不等式得） （由均值不等式得） 【答案点睛】 本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题. 19、（1）；（2）见解析.