2023届吉林省长春市十一高中等九校教育联盟高考冲刺模拟数学试题（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 2．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（ ） A．-2 B．2 C．4 D．7 3．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A． B． C． D． 4．设全集集合，则（ ） A． B． C． D． 5．已知命题，那么为（ ） A． B． C． D． 6．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，，其中为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 8．在中，点为中点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，若，，则的最小值为（ ） A． B．2 C．3 D． 9．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 10．点为的三条中线的交点，且，，则的值为( ) A． B． C． D． 11．己知集合，，则（ ） A． B． C． D．Æ 12．方程的实数根叫作函数的“新驻点”，如果函数的“新驻点”为，那么满足（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．下图是一个算法流程图,则输出的的值为__________． 14．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则_______，项的系数等于________. 15．已知，为虚数单位，且，则=_____. 16．已知，那么______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一周期 第二周期 第三周期 （Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数； （Ⅱ）若定义水站诚信度高于的为“高诚信度”，以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率； （Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由. 18．（12分）如图，已知椭圆，为其右焦点，直线与椭圆交于两点，点在上，且满足.(点从上到下依次排列) (I)试用表示： (II)证明：原点到直线l的距离为定值. 19．（12分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点． （1）若，求直线与轴的交点坐标； （2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上． 20．（12分）函数，且恒成立. （1）求实数的集合； （2）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明. （参考数据：） 21．（12分）已知的图象在处的切线方程为. （1）求常数的值； （2）若方程在区间上有两个不同的实根，求实数的值. 22．（10分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”． （1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？ （2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值. 【题目详解】 建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以. .所以 ，即. .当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 2、B 【答案解析】 在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差. 【题目详解】 在等差数列的前项和为，则 则 故选：B 【答案点睛】 本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题. 3、D 【答案解析】 分别求出球和圆柱的体积，然后可得比值. 【题目详解】 设圆柱的底面圆半径为，则，所以圆柱的体积.又球的体积，所以球的体积与圆柱的体积的比，故选D. 【答案点睛】 本题主要考查几何体的体积求解，侧重考查数学运算的核心素养. 4、A 【答案解析】 先求出，再与集合N求交集. 【题目详解】 由已知，，又，所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查集合的基本运算，涉及到补集、交集运算，是一道容易题. 5、B 【答案解析】 利用特称命题的否定分析解答得解. 【题目详解】 已知命题，，那么是. 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查特称命题的否定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 6、B 【答案解析】 转化为，构造函数，利用导数研究单调性，求函数最值，即得解. 【题目详解】 由，可知． 设，则， 所以函数在上单调递增， 所以． 所以． 故的取值范围是． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了导数在恒成立问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 7、A 【答案解析】 令f（x）﹣g（x）=x+ex﹣a﹣1n（x+1）+4ea﹣x， 令y=x﹣ln（x+1），y′=1﹣=， 故y=x﹣ln（x+1）在（﹣1，﹣1）上是减函数，（﹣1，+∞）上是增函数， 故当x=﹣1时，y有最小值﹣1﹣0=﹣1， 而ex﹣a+4ea﹣x≥4，（当且仅当ex﹣a=4ea﹣x，即x=a+ln1时，等号成立）； 故f（x）﹣g（x）≥3（当且仅当等号同时成立时，等号成立）； 故x=a+ln1=﹣1，即a=﹣1﹣ln1．故选：A． 8、B 【答案解析】 由，，三点共线，可得，转化，利用均值不等式，即得解. 【题目详解】 因为点为中点，所以， 又因为，， 所以． 因为，，三点共线， 所以， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为1． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 9、D 【答案解析】 求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可. 【题目详解】 设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2， 则 =2，化简得. ∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1， ∴ ，解得， ∴椭圆的离心率为． 故选D． 【答案点睛】 本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题． 10、B 【答案解析】 可画出图形，根据条件可得，从而可解出，然后根据，进行数量积的运算即可求出． 【题目详解】 如图： 点为的三条中线的交点 ， 由可得：， 又因，， . 故选：B 【答案点睛】 本题考查三角形重心的定义及性质，向量加法的平行四边形法则，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算及向量的数量积的运算，考查运算求解能力，属于中档题. 11、C 【答案解析】 先化简，再求. 【题目详解】 因为， 又因为， 所以， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题. 12、D 【答案解析】 由题设中所给的定义，方程的实数根叫做函数的“新驻点”，根据零点存在定理即可求出的大致范围 【题目详解】 解：由题意方程的实数根叫做函数的“新驻点”， 对于函数，由于， ， 设，该函数在为增函数， ， ， 在上有零点， 故函数的“新驻点”为，那么 故选：． 【答案点睛】 本题是一个新定义的题，理解定义，分别建立方程解出存在范围是解题的关键，本题考查了推理判断的能力，属于基础题.. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、3 【答案解析】 分析程序中各变量、各语句的作用,根据流程图所示的顺序,即可得出结论. 【题目详解】 解:初始, 第一次循环: ; 第二次循环: ; 第三次循环: ; 经判断,此时跳出循环,输出. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查了程序框图的应用问题,解题的关键是对算法语句的理解,属基础题. 14、8 1 【答案解析】 根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可. 【题目详解】 由于所有项的二项式系数之和为，， 故的二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得含x项的系数等于， 故答案为：8；1． 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题． 15、4 【答案解析】 解：利用复数相等，可知由有． 16、 【答案解析】 由已知利用诱导公式可求，进而根据同角三角函数基本关系即可求解. 【题目详解】 ∵， ∴，， ∴. 故答案为：. 【答案点睛】 本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）两次活动效果均好，理由详见解析. 【答案解析】 （Ⅰ）结合表中的数据，代入平均数公式求解即可； （Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周，则有两周为“高诚信度”事件为，利用列举法列出所有的基本事件和事件所包含的基本事件，利用古典概型概率计算公式求解即可； （Ⅲ）结合表中的数据判断即可. 【题目详解】 （Ⅰ）表中十二周“水站诚信度”的平均数 . （Ⅱ）设抽到“高诚信度”的事件为，则抽到“一般信度”的事件为，则随机抽取两周均为“高诚信度”事件为，总的基本事件为共15种， 事件所包含的基本事件为共10种， 由古典概型概率计算公式可得，. （Ⅲ）两次活动效果均好. 理由：活动举办后，“水站诚信度'由和看出，后继一周