2023年选修45不等式的证明测试题及答案2.docx

不等式的证明 班级 ＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿ 一、选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 １．假设a>0, b >0,那么 的最小值是 〔 〕 A．2 B． C． D．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因〞是指寻求使不等式成立的 〔 〕 A．必要条件 B．充分条件 C．充要条件 D．必要或充分条件 3．设a、b为正数，且a+ b≤4，那么以下各式中正确的一个是 〔 〕 A． B． C． D． 4．a、b均大于1，且logaC·logbC=4，那么以下各式中，一定正确的选项是 〔 〕 A．ac≥b B．ab≥c C．bc≥a D．ab≤c 5．设a=，b=，，那么a、b、c间的大小关系是 〔 〕 A．a>b>c B．b>a>c C．b>c>a D．a>c>b 6．a、b、m为正实数，那么不等式 〔 〕 A．当a< b时成立 B．当a> b时成立 C．是否成立与m无关 D．一定成立 7．设x为实数，P=ex+e-x，Q=(sinx+cosx)2，那么P、Q之间的大小关系是 〔 〕 A．P≥Q B．P≤Q C．P>Q D． P<Q 8．a> b且a+ b <0，那么以下不等式成立的是 〔 〕 A． B． C． D． 9．设a、b为正实数，P=aabb，Ｑ=abba，那么P、Q的大小关系是 〔 〕 A．P≥Q B．P≤Q C．P=Q D．不能确定 10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走，假设m≠n，那么甲、乙两人到达指定地点的情况是 〔 〕 A．甲先到 B．乙先到 C．甲乙同时到 D．不能确定 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题 11．假设实数满足，那么的最小值为 12．函数的最小值为_____________。 13．使不等式a2>b 2，，lg(a－b)>0， 2a>2b-1同时成立的a、b、1的大小关系是 ． 14．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元． 三、解答题 15．〔1〕假设a、b、c都是正数，且a+b+c=1， 求证： (1–a)(1–b)(1–c)≥8abc． 〔2〕实数满足，且有 求证： 16．设的大小．〔12分〕 17．(1)求证： (2)a，b，c都是正数，且a，b，c成等比数列，求证： 18．(1)x2 = a2 + b2，y2 = c2 + d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac + bd． (2) ，且 求证： 19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ〔λ<1〕，画面的上下各留8cm空白，左、右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？ 20．数列{xn}由以下条件确定：． 〔Ⅰ〕证明：对n≥2，总有xn≥； 〔Ⅱ〕证明：对n≥2，总有xn≥． 参考答案 一．选择题〔本大题共10小题，每题5分，共50分〕 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B D A A C A A 二．填空题〔本大题共4小题，每题6分，共24分〕 11． 12． 13．a>b>1 14．1760 三、解答题〔本大题共6题，共76分〕 15．〔12分〕 [证明]：因为a、b、c都是正数，且a+b+c=1， 所以(1–a)(1–b)(1–c)=(b+c)( a+c)( a+b)≥2·2·2=8abc． 16．〔12分〕 [解析 ]： 〔当且仅当t=1时时等号成立〕 〔1〕 当t=1时， 〔2〕 当时，， 假设 假设 17．〔12分〕 [证明]：左－右=2〔ab+bc－ac〕 ∵a，b，c成等比数列， 又∵a，b，c都是正数，所以≤ ∴ ∴ ∴ 18．〔12分〕 [证法一]：〔分析法〕∵a, b, c, d, x, y都是正数 ∴要证：xy≥ac + bd 只需证：(xy)2≥(ac + bd)2 即：(a2 + b2)(c2 + d2)≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 展开得：a2c2 + b2d2 + a2d2 + b2c2≥a2c2 + b2d2 + 2abcd 即：a2d2 + b2c2≥2abcd 由根本不等式，显然成立 ∴xy≥ac + bd [证法二]：〔综合法〕xy = ≥ [证法三]：〔三角代换法〕 ∵x2 = a2 + b2，∴不妨设a = xsina, b = xcosa y2 = c2 + d2 c = ysinb, d = ycosb ∴ac + bd = xysinasinb + xycosacosb = xycos(a - b)≤xy 19．〔14分〕 [解析]：设画面高为x cm，宽为x cm 那么x2=4840． 设纸张面积为S，有 S=〔x +16〕(x +10) = x 2+(16+10) x +160, S=5000+44 当8 此时，高： 宽： 答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小． 20．〔14分〕 〔I〕证明：由及可归纳证明〔没有证明过程不扣分〕 从而有 所以，当成立. 〔II〕证法一：当 所以 故当 证法二：当 所以 故当. 2．证明： 即 4．证明： 是方程的两个不等实根， 那么，得 而 即，得 所以，即 5．证明：显然 是方程的两个实根， 由得，同理可得，