2023届四川省绵阳市高中高考压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为，连接4个焦点的四边形的面积为，则当取得最大值时，双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则等于（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，若，则（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．已知是等差数列的前项和，，，则（ ） A．85 B． C．35 D． 5．不等式的解集记为，有下面四个命题：；；；.其中的真命题是（ ） A． B． C． D． 6．若直线与曲线相切，则（ ） A．3 B． C．2 D． 7．已知函数，当时，恒成立，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．如图所示，为了测量、两座岛屿间的距离，小船从初始位置出发，已知在的北偏西的方向上，在的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达处，此时测得在的北偏西的方向上，再开回处，由向西开百海里到达处，测得在的北偏东的方向上，则、两座岛屿间的距离为（ ） A．3 B． C．4 D． 9．已知等差数列的前n项和为，，则 A．3 B．4 C．5 D．6 10．正的边长为2，将它沿边上的高翻折，使点与点间的距离为，此时四面体的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 11．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ） A． B． C． D． 12．已知函数的导函数为，记，，…，N. 若，则 （ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．在边长为2的正三角形中，，则的取值范围为______. 14．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________． 15．过且斜率为的直线交抛物线于两点，为的焦点若的面积等于的面积的2倍，则的值为___________. 16．若函数为奇函数，则_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知离心率为的椭圆经过点. (1)求椭圆的方程； (2)荐椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆分别交于，若直线、、的斜率成等差数列，请问的面积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 18．（12分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上． 19．（12分）选修4-5：不等式选讲 已知函数 （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）对及，不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的短轴长为，直线与椭圆相交于两点，线段的中点为.当与连线的斜率为时，直线的倾斜角为 （1）求椭圆的标准方程； （2）若是以为直径的圆上的任意一点，求证： 21．（12分）已知函数. （1）若，求证：. （2）讨论函数的极值； （3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由. 22．（10分）已知，函数. （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 先求出四个顶点、四个焦点的坐标，四个顶点构成一个菱形，求出菱形的面积，四个焦点构成正方形，求出其面积，利用重要不等式求得取得最大值时有，从而求得其离心率. 【题目详解】 双曲线与互为共轭双曲线， 四个顶点的坐标为，四个焦点的坐标为， 四个顶点形成的四边形的面积， 四个焦点连线形成的四边形的面积， 所以， 当取得最大值时有，，离心率， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关双曲线的离心率的问题，涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点，焦点，菱形面积公式，重要不等式求最值，等轴双曲线的离心率，属于简单题目. 2、C 【答案解析】 先化简集合A，再与集合B求交集. 【题目详解】 因为，， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题. 3、B 【答案解析】 因为,所以,所以或. 若，则,满足. 若，解得或.若，则，满足.若，显然不成立，综上或，选B. 4、B 【答案解析】 将已知条件转化为的形式，求得，由此求得. 【题目详解】 设公差为，则，所以，，，. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查等差数列前项和的计算，属于基础题. 5、A 【答案解析】 作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果. 【题目详解】 作出可行域如图所示，当时，，即的取值范围为，所以为真命题； 为真命题；为假命题. 故选：A 【答案点睛】 此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 6、A 【答案解析】 设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果. 【题目详解】 设切点为， ∵，∴ 由①得， 代入②得， 则，， 故选A. 【答案点睛】 该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目. 7、A 【答案解析】 分析可得,显然在上恒成立,只需讨论时的情况即可,,然后构造函数,结合的单调性,不等式等价于,进而求得的取值范围即可. 【题目详解】 由题意,若,显然不是恒大于零,故. ,则在上恒成立; 当时,等价于, 因为,所以. 设,由,显然在上单调递增, 因为,所以等价于,即,则. 设,则. 令,解得,易得在上单调递增,在上单调递减, 从而，故. 故选:A. 【答案点睛】 本题考查了不等式恒成立问题,利用函数单调性是解决本题的关键,考查了学生的推理能力,属于基础题. 8、B 【答案解析】 先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可. 【题目详解】 由题意可知：， 所以，， 所以，所以， 又因为，所以， 所以. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 9、C 【答案解析】 方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C． 方法二：因为，所以，则.故选C． 10、D 【答案解析】 如图所示，设的中点为，的外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，利用正弦定理可得，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积. 【题目详解】 如图所示，设的中点为，外接圆的圆心为，四面体的外接球的球心为，连接，则平面，. 因为，故， 因为，故. 由正弦定理可得，故，又因为，故. 因为，故平面，所以， 因为平面，平面，故，故， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以，故外接球的半径为，外接球的表面积为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度. 11、B 【答案解析】 先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可. 【题目详解】 本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以， ，，故当输入，，则计算机输出的数 是57. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题. 12、D 【答案解析】 通过计算，可得，最后计算可得结果. 【题目详解】 由题可知： 所以 所以猜想可知： 由 所以 所以 故选：D 【答案点睛】 本题考查导数的计算以及不完全归纳法的应用，选择题、填空题可以使用取特殊值，归纳猜想等方法的使用，属中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 建立直角坐标系，依题意可求得，而，，，故可得，且，由此构造函数，，利用二次函数的性质即可求得取值范围． 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设，，，， 根据，即，，，则， ，即，，，则，， 所以， ， ，，， ，且， 故， 设，，易知二次函数的对称轴为， 故函数在，上的最大值为，最小值为， 故的取值范围为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意通过设元、消元，将问题转化为元二次函数的值域问题． 14、 【答案解析】 记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是． 15、2 【答案解析】 联立直线与抛物线的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系以及面积关系求解即可. 【题目详解】 如图，设，由，则， 由可得，由，则， 所以，得. 故答案为：2 【答案点睛】 此题考查了抛物线的性质，属于中档题. 16、-2 【答案解析】 由是定义在上的奇函数,可知对任意的,都成立,代入函数式可求得的值. 【题目详解】 由题意,的定义域为,, 是奇函数,则,即对任意的,都成立, 故,整理得,解得. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查奇函数性质的应用,考查学生的计算求解能力,属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1)；(2)是， 【答案解析】 (1)根据及可得，再将点代入椭圆的方程与联立解出，即可求出椭圆的方程； (2) 可设所在直线的方程为，，，，将直线的方程与椭圆的方程联立，用根与系数的关系求出，然后将直线、、的斜率、、分别用表示，利用可求出，从而可确定点恒在一条直线上，结合图形即可求出的面积． 【题目详解】 (1)因为椭圆的离心率为，所以，即， 又，所以，① 因为点在椭圆上，所以，② 由①②解得，所以椭圆C的方程为． (1)可知，，可设所在直线的方程为， 由，得， 设，，，则，， 设直线、、的斜率分别为、、， 因为三点共线，所以，即， 所以， 又， 因为直线、、的斜率成等差数列，所以， 即，化简得，即点恒在一条直线上， 又因为直线方程为，且， 所以是定值. 【答案点睛】 本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档