2023年兴义高考一轮专练集合与常用逻辑用语高中数学.docx

集合与常用逻辑用语 第一单元 集合 考点要求 一、集合 1．集合的含义与表示 〔1〕通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系； 〔2〕能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的根本关系 〔1〕理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 〔2〕在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的根本运算 〔1〕理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 〔2〕理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 〔3〕能使用图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 【知识网络】 集合与简易逻辑 集合 简易逻辑 根本概念、分类与表示 关系 运算 元素与集合关系 集合与集合关系 逻辑联结词 简单命题与复合命题 命题的四种形式及其关系　 充要条件 交集 并集 补集 第一节 集合的概念与相互关系 自主学习 1．集合的含义与表示 〔1〕一般地，把一些指定的对象组成的总体叫做集合，集合中的对象称元素，假设a是集合A的元素，记作；假设b不是集合的元素，记作； 〔2〕集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性三大特性； 〔3〕常用的集合表示法：列举法、描述法或图示法〔图〕； 〔4〕常用数集及其记法： 非负整数集〔或自然数集〕，记作；正整数集，记作或；整数集，记作； 有理数集，记作；实数集，记作． 2．集合间的关系： 〔1〕集合的任何一个元素都是集合的元素，那么称是的子集〔或B包含〕，记作． 〔2〕集合相等：构成两个集合的元素完全一样，假设且，那么称等于，记作． 〔3〕假设且，那么称是的真子集，或者假设，但存在元素且，那么称是的真子集，记作． 〔4〕不含任何元素的集合称为空集，记作．规定：空集是任何集合的子集． 〔5〕简单性质：1〕；2〕；3〕假设，，那么． 教材透析 1．集合中的元素必须具有：确定性、互异性与无序性。确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，那么或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体〔对象〕，因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合中元素的排列不是固定的； 2．集合有三种表示方法 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内． 具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值〔或变化〕范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法． 3．假设集合是个元素的集合，那么集合有个子集〔其中个真子集，个非空真子集〕． 典例剖析 【题型1】 集合元素的根本特征 【例1】集合，试求集合的所有子集. 【解析】由题意可知是的正约数，所以 可以是；相应的为 ，即 . ∴的所有子集为． 【点评】 此题主要考查集合的根底知识，集合中的元素具有确定性、互异性与无序性三大特性，尤其是互异性在解题中应予以足够重视. 【变式与拓展】 1.集合，,,求的值． 【解析】由可知， 〔1〕，或〔2〕 解〔1〕得， 解〔2〕得， 又因为当时，与题意不符，所以，. 【题型2】集合的表示法 【例2】集合且,求参数的取值范围． 【解析】由易求得 当时,,由知无解； 当时,,显然无解； 当时, ,由解得． 综上知,参数的取值范围是. 【点评】此题中,集合的定义是一个二次三项式,那么寻于集合B要分类讨论使其取值范围数字化,才能通过条件求出参数的取值范围. 【变式与拓展】 2. (2023广东文)全集，那么正确表示集合和关系的韦恩〔〕图是 【解析】由，得，那么，选B． 题型3 集合间的根本关系 【例3】,集合.假设,那么的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.10 【解析】，，且及集合中元素的互异性知 ,即,此时应有． 而,从而在集合B中, ． 由,得 由(2)(3)解得，代入(1)式知，也满足(1)式， 【点评】此题主要考查集合相等的的概念,如果两个集合中的元素个数相等,那么两个集合中对应的元素应分别相等才能保证两个集合相等.而找到这种对应关系往往是解决此类题目的关键. 设集合，那么满足的集合B的个数是〔 〕。 A．1 B．3 C．4 D．8 【解析】，，那么集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个．应选择答案C． 【点评】 集合A是n个元素的集合，那么集合A有2n个子集、2n－1个真子集、2n－2个非空真子集． 【变式与拓展】 3.(2023山东理)集合,，假设,那么的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】:∵,,∴∴,应选D. 答案:D 题型4 空集的考查 例4 集合A=，B=，且,　那么实数m的取值范围是〔 〕　　 A.　 　　 B.　 　 C.　 D. 【解析】∵A=,　由得：①=Æ，那么，即； ②≠Æ，那么且，即，知.　综上应选A. 【点评】 解答具有条件 的试题时，不能忽略B=Æ的情形．空集是一个特殊的集合，在研究集合之间的关系与运算时必须注意． 【变式与拓展】 4. 设集合. 假设，求实数的取值范围. 【解析】∵，又，所以或，或，或． 〔1〕当时，. 〔2〕当时，，且． 〔3〕当时，，且． 〔4〕当时， 综上所述，实数的取值范围是. 能力训练 一、选择题 1．给出6个关系式：〔1〕，〔2〕，〔3〕，〔4〕，〔5〕 ，〔6〕．其中正确的个数是　　　　　　　　　　　〔　C 〕 A．3 B．4 C． 5 　　　 D．6 2．(2023山东文)集合,,假设，那么的值为( D ) A．0 B．1 C．2 D．4 3．集合且中至多有一个奇数，那么这样的集合　　　　〔　A　〕 A．6个 B．5个 C．4个 D．2个 4．〔2023北京文〕设集合，那么 〔 A 〕 A． B． C． D． 5．〔2023广东理〕全集，集合和 的关系的韦恩〔Venn〕图如图1所示，那么阴影局部所示的集合的元素共有 〔 B 〕 A．3个 B．2个 C．1个 D． 无穷多个 6.〔2023全国Ⅰ〕设，集合，那么〔 C 〕 A．1 B． C．2 D． 二、填空题 7. 集合A={x| x2+x-6=0}, B={x| ax+1=0},假设BA，那么a=． 8. 假设集合中有且仅有一个元素，那么的取值集合是 ． 9. 设集合,,那么集合 =． 10.〔2023福建〕设P是一个数集，且至少含有两个数，假设对任意a、b∈P，都有、、ab、〔除数〕那么称是一个数域，例如有理数集是数域，有以下命题： ①数域必含有、两个数； ②整数集是数域； ③假设有理数集，那么数集必为数域； ④数域必为无限集． 其中正确的命题的序号是 ①④ 〔把你认为正确的命题的序号都填上〕． 三、解答题 11．记函数的定义域为，的定义域为B． (1) 求集合； (2) 假设, 求实数的取值范围． 【解析】(1 ) ， ． ∴集合． (2) 〔a<1〕， ∵, ∴， ∴不等式的解为， ∴集合， ∵， ∴, ∴． 12．设，点，但，，求的值． 【解析】∵点〔2，1〕，∴① ∵〔1，0〕E，〔3，2〕E， ∴② ③ 由①②得； 类似地由①、③得， ∴． 又，∴=－1代入①、②得=－1． 第二节 集合的运算 自主学习 1．集合的根本运算 〔1〕一般地，由属于集合且属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与的交集；交集． 〔2〕一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合与的并集；并集． 〔3〕一般地，如果一个集合包含了我们要研究问题中所涉及的所有元素，那么这个集合称为全集，记作． 〔4〕假设是一个集合，且，那么称为集合相对于集合的补集，记作． 2．集合运算的简单性质： 〔1〕； 〔2〕； 〔3〕； 〔4〕； 〔5〕，． 教材透析 求集合的并、交、补是集合间的根本运算，运算结果仍然是集合，区分交集与并集的关键是“且〞与“或〞，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法． 典例剖析 【题型1】集合的根本运算 【例1】〔2023浙江理〕设，，，那么( ) A． B． C． D． 【解析】 对于，因此． 【点评】本小题主要考查集合运算，集合间的交、补运算是高考中的常考内容，不等式型的补集注意等号，不要出错． 【变式与拓展】 1. 〔2023全国卷Ⅰ理〕设集合，，全集，那么集合中的元素共有 〔 A 〕 A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．〔08北京理〕全集，集合，，那么集合等于〔 C 〕 A． B． C． D． 【题型2】抽象集合的运算 【例2】〔2023全国Ⅰ〕设为全集，是的三个非空子集，且，那么下面论断正确的选项是 ( C ) A. B. C. D. S1 S2 S3 【解析】方法一：特例法 令，, ，那么，检验知C正确. 方法二：利用图很快得答案C. 【点评】 对抽象集合问题，可以用特例法将它具体化，也可用图使它直观化，不同的表示方法间可以相互转化；解题时，要善于将集合化成“最简〞形式. 【变式与拓展】 3.〔2023江西理〕全集中有个元素，中有个元素．假设 非空，那么的元素个数为 〔 D 〕 A． B． C． D． 4. 假设三个集合、、满足，，那么有 〔 A 〕 A. B. C. D. 【题型3】 含参数问题 【例3】集合，． ⑴当时，求； ⑵求使的实数的取值范围． 【解析】〔1〕当时，，∴ A． 〔2〕∵ ， 当时， 要使，必须，此时； 当时，，使B的不存在； 当a＞时，要使，必须，此时． 综上可知，使的实数的取值范围为. 【例4】 集合，， ，，且，求实数的取值范围． 【解析】依题意，集合,又， 那么，， 由知， (1)当时，,满足 (2)当时，，满足 (3)当时，不满足 ∴实数的取值范围为