2023届云南省宾川县四校高考数学二模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．数列满足：，则数列前项的和为 A． B． C． D． 2．已知复数（为虚数单位）在复平面内对应的点的坐标是（ ） A． B． C． D． 3．若x，y满足约束条件则z=的取值范围为（ ） A．[] B．[，3] C．[，2] D．[，2] 4．设为非零向量，则“”是“与共线”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如图所示，已知双曲线的右焦点为，双曲线的右支上一点，它关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率是（ ）. A． B． C． D． 6．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ） A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85 7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A．α内有无数条直线与β平行 B．α内有两条相交直线与β平行 C．α，β平行于同一条直线 D．α，β垂直于同一平面 8．抛物线的焦点为，准线为，，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 9．已知a>0，b>0，a+b =1，若 α=，则的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．已知实数，满足，则的最大值等于( ) A．2 B． C．4 D．8 11．在三棱锥中，，，，，点到底面的距离为2，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，若，则________. 14．在长方体中，，，，为的中点，则点到平面的距离是______. 15．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的模是______. 16．设函数，，其中．若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在极坐标系中，曲线的极坐标方程为 （1）求曲线与极轴所在直线围成图形的面积； （2）设曲线与曲线交于，两点，求. 18．（12分）已知的三个内角所对的边分别为，向量，，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值 19．（12分）已知函数，，设． （1）当时，求函数的单调区间； （2）设方程（其中为常数）的两根分别为，，证明：． （注：是的导函数） 20．（12分）已知函数． （1）若在处取得极值，求的值； （2）求在区间上的最小值； （3）在（1）的条件下，若，求证：当时，恒有成立． 21．（12分）如图，四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，平面． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值． 22．（10分）已知数列，其前项和为，若对于任意，，且，都有. （1）求证：数列是等差数列 （2）若数列满足，且等差数列的公差为，存在正整数，使得，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 分析：通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知，进而可知，利用裂项相消法求和即可． 详解：∵，∴， 又∵=5， ∴，即， ∴， ∴数列前项的和为， 故选A． 点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误. 2、A 【答案解析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求得的坐标得出答案. 【题目详解】 解：， 在复平面内对应的点的坐标是. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 3、D 【答案解析】 由题意作出可行域，转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数，数形结合即可得解. 【题目详解】 由题意作出可行域，如图， 目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数， 由图可知，直线的斜率最小，直线的斜率最大， 由可得，由可得， 所以，，所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了非线性规划的应用，属于基础题. 4、A 【答案解析】 根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【题目详解】 若，则与共线，且方向相同，充分性； 当与共线，方向相反时，，故不必要. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 5、C 【答案解析】 易得，，又，平方计算即可得到答案. 【题目详解】 设双曲线C的左焦点为E，易得为平行四边形， 所以，又， 故，，， 所以，即， 故离心率为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查求双曲线离心率的问题，关键是建立的方程或不等关系，是一道中档题. 6、D 【答案解析】 由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可. 【题目详解】 设等比数列{an}的公比为q， ∵a5＝16，a3a4＝﹣32， ∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32， ∴q＝﹣2，则， 则， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 7、B 【答案解析】 本题考查了空间两个平面的判定与性质及充要条件，渗透直观想象、逻辑推理素养，利用面面平行的判定定理与性质定理即可作出判断． 【题目详解】 由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B． 【答案点睛】 面面平行的判定问题要紧扣面面平行判定定理，最容易犯的错误为定理记不住，凭主观臆断，如：“若，则”此类的错误． 8、B 【答案解析】 试题分析：设在直线上的投影分别是，则，，又是中点，所以，则，在中，所以，即，所以，故选B． 考点：抛物线的性质． 【名师点晴】 在直线与抛物线的位置关系问题中，涉及到抛物线上的点到焦点的距离，焦点弦长，抛物线上的点到准线（或与准线平行的直线）的距离时，常常考虑用抛物线的定义进行问题的转化．象本题弦的中点到准线的距离首先等于两点到准线距离之和的一半，然后转化为两点到焦点的距离，从而与弦长之间可通过余弦定理建立关系． 9、C 【答案解析】 根据题意，将a、b代入，利用基本不等式求出最小值即可. 【题目详解】 ∵a>0，b>0，a+b=1， ∴， 当且仅当时取“＝”号． 答案：C 【答案点睛】 本题考查基本不等式的应用，“1”的应用，利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是首先要判断参数是否为正；二定是其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是最后一定要验证等号能否成立，属于基础题. 10、D 【答案解析】 画出可行域，计算出原点到可行域上的点的最大距离，由此求得的最大值. 【题目详解】 画出可行域如下图所示，其中，由于,，所以， 所以原点到可行域上的点的最大距离为. 所以的最大值为. 故选：D 【答案点睛】 本小题主要考查根据可行域求非线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 11、C 【答案解析】 首先根据垂直关系可确定，由此可知为三棱锥外接球的球心，在中，可以算出的一个表达式，在中，可以计算出的一个表达式，根据长度关系可构造等式求得半径，进而求出球的表面积． 【题目详解】 取中点，由，可知：， 为三棱锥外接球球心， 过作平面，交平面于，连接交于，连接，，， ，，，为的中点 由球的性质可知：平面，，且． 设， ，， ，在中，， 即，解得：， 三棱锥的外接球的半径为：， 三棱锥外接球的表面积为． 故选：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积的求解问题，求解几何体外接球相关问题的关键是能够利用球的性质确定外接球球心的位置. 12、A 【答案解析】 由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解 【题目详解】 如图，其中，所以 . 故选：A 【答案点睛】 本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、1 【答案解析】 由题意先求得的值，可得，再令，可得结论． 【题目详解】 已知， ，， ， 令，可得， 故答案为：1． 【答案点睛】 本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题． 14、 【答案解析】 利用等体积法求解点到平面的距离 【题目详解】 由题在长方体中，， ， 所以，所以， 设点到平面的距离为 ，解得 故答案为： 【答案点睛】 此题考查求点到平面的距离，通过在三棱锥中利用等体积法求解，关键在于合理变换三棱锥的顶点. 15、 【答案解析】 先求得复数，再由复数模的计算公式即得. 【题目详解】 ， ，则. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查复数的四则运算和求复数的模，是基础题. 16、 【答案解析】 根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数使得数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可. 【题目详解】 解：函数,且 画出的图象如下： 因为,且存在唯一的整数使得, 故与在时无交点, ,得； 又,过定点 又由图像可知,若存在唯一的整数使得时,所以 , 存在唯一的整数使得 所以 .根据图像可知,当时, 恒成立. 综上所述, 存在唯一的整数使得,此时 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了数形结合分析参数范围的问题,需要根据题意分别分析定点右边的整数点中为满足条件的唯一整数,再数形结合列出时的不等式求的范围.属于难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2） 【答案解析】 （1）利用互化公式，将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，得出曲线与极轴所在直线围成的图形是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形，即可求出面积； （2）联立方程组，分别求出和的坐标，即可求出. 【题目详解】 解：（1）由于的极坐标方程为， 根据互化公式得，曲线的直角坐标方程为： 当时，， 当时，， 则曲线与极轴所在直线围成的图形， 是一个半径为1的圆周及一个两直角边分别为1与的直角三角形， ∴围成图形的面积. （2）由得，其直角坐标为， 化直角坐标方程为， 化直角坐标方程为， ∴， ∴. 【答案点睛】 本题考查利用互化公式将极坐标方程化为直角坐标方程，以及联立方程组求交点坐标，考查计算能力.