2023届上海市宝山区高境一中高考数学五模试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知数列 是公比为 的等比数列，且 ， ， 成等差数列，则公比 的值为（    ） A． B． C． 或 D． 或 3．已知为虚数单位，若复数，则 A． B． C． D． 4．记个两两无交集的区间的并集为阶区间如为2阶区间，设函数，则不等式的解集为（ ） A．2阶区间 B．3阶区间 C．4阶区间 D．5阶区间 5．设i为数单位，为z的共轭复数，若，则（ ） A． B． C． D． 6．已知，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知中内角所对应的边依次为，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 8．将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 9． “幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ） A．75 B．65 C．55 D．45 10． “且”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11．函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 12．已知i为虚数单位，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，侧面积为，则该棱锥的体积为__________． 14．下表是关于青年观众的性别与是否喜欢综艺“奔跑吧，兄弟”的调查数据，人数如下表所示： 不喜欢 喜欢 男性青年观众 40 10 女性青年观众 30 80 现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取个人做进一步的调研，若在“不喜欢的男性青年观众”的人中抽取了8人，则的值为______. 15．已知函数的最小值为2，则_________． 16．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图所示，三棱柱中，平面，点，分别在线段，上，且，，是线段的中点. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若，，，求直线与平面所成角的正弦值. 18．（12分）在△ABC中，分别为三个内角A、B、C的对边，且 (1)求角A； (2)若且求△ABC的面积． 19．（12分）已知都是大于零的实数． （1）证明； （2）若，证明． 20．（12分）设函数． （1）当时，求不等式的解集； （2）当时，求实数的取值范围． 21．（12分）若不等式在时恒成立，则的取值范围是__________. 22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线：（为参数，），曲线：（为参数）.若曲线和相切. （1）在以为极点，轴非负半轴为极轴的极坐标系中，求曲线的普通方程； （2）若点，为曲线上两动点，且满足，求面积的最大值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值. 【题目详解】 如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，， 过分别做，的平行线，， 由题知， 则外接圆半径， 因为，所以， 又因为，所以，， 由题可知， 所以，， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 2、D 【答案解析】 由成等差数列得，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程. 【题目详解】 由题意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q= 故选：D． 【答案点睛】 本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练． 3、B 【答案解析】 因为，所以，故选B． 4、D 【答案解析】 可判断函数为奇函数，先讨论当且时的导数情况，再画出函数大致图形，将所求区间端点值分别看作对应常函数，再由图形确定具体自变量范围即可求解 【题目详解】 当且时，.令得.可得和的变化情况如下表： 令，则原不等式变为，由图像知的解集为，再次由图像得到的解集由5段分离的部分组成，所以解集为5阶区间. 故选：D 【答案点睛】 本题考查由函数的奇偶性，单调性求解对应自变量范围，导数法研究函数增减性，数形结合思想，转化与化归思想，属于难题 5、A 【答案解析】 由复数的除法求出，然后计算． 【题目详解】 ， ∴． 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的乘除法运算，考查共轭复数的概念，掌握复数的运算法则是解题关键． 6、D 【答案解析】 利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项． 【题目详解】 已知，赋值法讨论的情况： （1）当时，令，，则，，排除B、C选项； （2）当时，令，，则，排除A选项. 故选：D. 【答案点睛】 比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题． 7、A 【答案解析】 由余弦定理可得，结合可得a，b，再利用面积公式计算即可. 【题目详解】 由余弦定理，得，由，解得， 所以，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 8、B 【答案解析】 根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可. 【题目详解】 将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象， 则， 设， 则当时，，， 即， 要使在区间上单调递减， 则得，得， 即实数的最大值为， 故选：B. 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数图象变换，考查根据三角函数的单调性求参数，属于中档题. 9、B 【答案解析】 计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和. 【题目详解】 依题意“5阶幻方”的幻和为，故选B. 【答案点睛】 本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题. 10、A 【答案解析】 画出“,,,所表示的平面区域,即可进行判断. 【题目详解】 如图，“且”表示的区域是如图所示的正方形， 记为集合P，“”表示的区域是单位圆及其内部，记为集合Q， 显然是的真子集,所以答案是充分非必要条件， 故选:. 【答案点睛】 本题考查了不等式表示的平面区域问题,考查命题的充分条件和必要条件的判断,难度较易. 11、C 【答案解析】 根据函数奇偶性可排除AB选项；结合特殊值，即可排除D选项. 【题目详解】 ∵， ， ∴函数为奇函数， ∴排除选项A，B； 又∵当时，， 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了依据函数解析式选择函数图象，注意奇偶性及特殊值的用法，属于基础题. 12、A 【答案解析】 根据复数乘除运算法则，即可求解. 【题目详解】 . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数代数运算，属于基础题题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点，则，设，根据正四棱锥的侧面积求出的值，再利用勾股定理求得正四棱锥的高，代入体积公式，即可得到答案. 【题目详解】 如图所示，正四棱锥，为底面的中心，点为的中点， 则，设， ，，， ， ， . 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查棱锥的侧面积和体积，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 14、32 【答案解析】 由已知可得抽取的比例，计算出所有被调查的人数，再乘以抽取的比例即为分层抽样的样本容量. 【题目详解】 由题可知，抽取的比例为，被调查的总人数为人， 则分层抽样的样本容量是人. 故答案为：32 【答案点睛】 本题考查分层抽样中求样本容量，属于基础题. 15、 【答案解析】 首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对照函数值等于2的时候对应的自变量的值，从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参数的值. 【题目详解】 根据题意可知， 可以发现当或时是分界点， 结合函数的解析式，可以判断0不可能，所以只能是是分界点， 故，解得，故答案是. 【答案点睛】 本题主要考查分段函数的性质，二次函数的性质，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 16、 【答案解析】 总事件数为， 目标事件：当第一颗骰子为1,2,4,6，具体事件有 ，共8种； 当第一颗骰子为3,6，则第二颗骰子随便都可以，则有种； 所以目标事件共20中，所以。 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）证明见详解；（Ⅱ）. 【答案解析】 （Ⅰ）取中点为，根据几何关系，求证四边形为平行四边形，即可由线线平行推证线面平行； （Ⅱ）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得直线的方向向量和平面的法向量，即可求得线面角的正弦值. 【题目详解】 （Ⅰ）取的中点，连接，.如下图所示： 因为，分别是线段和的中点， 所以是梯形的中位线，所以. 又，所以. 因为，， 所以四边形为平行四边形，所以. 所以，. 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面， 所以平面. （Ⅱ）因为，且平面， 故可以为原点，的方向为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 如下图所示： 不妨设，则， 所以，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则所以 可取. 设直线与平面所成的角为， 则. 故可得直线与平面所成的角的正弦值为. 【答案点睛】 本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解线面角，属综合中档题. 18、（1）； （2）. 【答案解析】 （1）整理得：，再由余弦定理可得，问题得解． （2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解． 【题目详解】 （1）由题意，得， ∴； （2）由正弦定理，得， , ∴. 【答案点睛】 本题主要考查了正、余弦定理及三角形面积公式，考查了转化思想及化简能力，属于基础题． 19、（1）答案见解析．（2）答案见解析 【答案解析】 （1）利用基本不等式可得，两式相加即可求解. （2）由（