2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版12.docx

1992年全国高中数学联赛试卷 第一试 一、选择题(每题5分，共30分) 1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，那么|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 2．如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一局部，那么这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(Si)/S，那么λ一定满足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，那么△ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形 5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，那么△OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足以下关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，那么f(x)是 (A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 二、填空题(每题5分共30分) 1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，那么+的值是______． 2．在区间[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是______． 3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，那么k的最大值是_____． 4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，那么arg()3的值是______． 5．设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，那么a1+a2+L+a100的值是____． 6．函数f(x)= －的最大值是_____． 三、(20分)求证：16<<17． 四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，AD=，BE=CF=，求l与m的距离． 五、(20分)设n是自然数，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+． 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)-fn-1(x)，(n>1) 2.用数学归纳法证明： fn(x)= 第二试 一、(35分) 设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为⊿A2A3A4、⊿A3A4A1、⊿A4A1A2、⊿A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置． 二、(35分) 设集合Sn={1,2,L,n}．假设X是Sn的子集，把X中所有数的和称为X的“容量〞(规定空集的容量为0)，假设X的容量为奇(偶)数，那么称X为的奇(偶)子集． 1．求证Sn的奇子集与偶子集个数相等． 2．求证：当n≥3时，Sn的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和． 3．当n≥3时，求Sn的所有奇子集的容量之和． 三、(35分)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，任取6个格点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足 (1) |xi|≤2,|yi|≤2,(i=1,2,3,4,5,6)，(2) 任何三点不在同一条直线上．试证：在以Pi(i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于2． 1992年全国高中数学联赛解答 第一试 一、选择题(每题5分，共30分) 1．对于每个自然数n，抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴交于An，Bn两点，以|AnBn|表示该两点的距离，那么|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|的值是( ) (A) (B) (C) (D) 解：y=((n+1)x－1)(nx－1)，∴ |AnBn|=－，于是|A1B1|+|A2B2|+L+|A1992B1992|=，选B． 2．如图的曲线是以原点为圆心，1为半径的圆的一局部，那么这一曲线的方程是( ) (A)(x+)(y+)=0 (B)(x-)(y-)=0 (C)(x+)(y-)=0 (D)(x-)(y+)=0 解：(x-)=0表示y轴右边的半圆，(y+)=0表示x轴下方的半圆，应选D． 3．设四面体四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，它们的最大值为S，记λ=(Si)/S，那么λ一定满足( ) (A)2<λ≤4 (B)3<λ<4 (C)2.5<λ≤4.5 (D)3.5<λ 解： Si≤4S，故Si≤4，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，Si接近2S，应选A． 4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别记为a，b，c(b¹1)，且，都是方程logx=logb(4x－4)的根，那么△ABC( ) (A)是等腰三角形，但不是直角三角形 (B)是直角三角形，但不是等腰三角形 (C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：x2=4x－4．根为x=2．∴ C=2A，ÞB=180°－3A，sinB=2sinA．Þsin3A=2sinA， Þ3－4sin2A=2．A=30°，C=60°，B=90°．选B． 5．设复数z1，z2在复平面上对应的点分别为A，B，且|z1|=4，4z12-2z1z2+z22=0，O为坐标原点，那么△OAB的面积为( ) (A)8 (B)4 (C)6 (D)12 解：=cos±isin．∴ |z2|=8，z1、z2的夹角=60°．S=·4·8·=8．选A． 6．设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足以下关系f(10+x)=f(10-x)， f(20-x)=-f(20+x)，那么f(x)是 (A)偶函数，又是周期函数 (B)偶函数，但不是周期函数 (C)奇函数，又是周期函数 (D)奇函数，但不是周期函数 解：f(20－x)=f[10+(10－x)]=f[10－(10－x)]=f(x)=－f(20+x)． ∴ f(40+x)=f[20+(20+x)]=－f(20+x)=f(x)．∴ 是周期函数； ∴ f(－x)=f(40－x)=f(20+(20－x)=－f(20－(20－x))=－f(x)．∴ 是奇函数．选C． 二、填空题(每题5分共30分) 1．设x，y，z是实数，3x，4y，5z成等比数列，且，，成等差数列，那么+的值是______． 解：16y2=15xz，y=，Þ16·4x2z2=15xz(x+z)2．由xz≠0，得=，Þ+=． 2．在区间[0，p]中，三角方程cos7x=cos5x的解的个数是 ． 解：7x=5x+2kπ，或7x=－5x+2kπ，(k∈Z)Þx=kπ，x=kπ (k∈Z)，共有7解． 3．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，那么k的最大值是 ． 解：正方体共有8个顶点，假设选出的k条线两两异面，那么不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求k的最大值=4． 4．设z1，z2都是复数，且|z1|=3，|z2|=5|z1+z2|=7，那么arg()3的值是______． 解：cos∠OZ1Z3==－．即∠OZ1Z3==120°， ∴ arg()=或． ∴ arg()3=π． 5．设数列a1，a2，L，an，L满足a1=a2=1，a3=2，且对任何自然数n， 都有anan+1an+2¹1，又anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，那么a1+a2+L+a100的值是____. 解：anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，an+1an+2an+3an+4=an+1+an+2+an+3+an+4， 相减，得anan+1an+2(a4－an)=an+4－an，由anan+1an+2¹1，得an+4=an． 又，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3，a1=a2=1，a3=2，得a4=4． ∴ a1+a2+L+a100=25(1+1+2+4)=200． 6．函数f(x)= －的最大值是_____． 解：f(x)= －，表示点(x，x2)与点A(3，2)的距离及B(0，1)距离差的最大值．由于此二点在抛物线两侧，故过此二点的直线必与抛物线交于两点．对于抛物线上任意一点，到此二点距离之差大于|AB|=．即所求最小值为． 三、(20分)求证：16<<17． 证明：=<=2(－)， 同时>=2(－)． 于是得2(－)<<1+2(－) 即 16<<1+2(－1)<1+2(9－1)=17． 四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C三点，且AB=BC，过A，B，C分别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，AD=，BE=CF=，求l与m的距离． 解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l¢，l¢∩m=K． 作BQ⊥α，CR⊥α，垂足为Q、R，那么Q、R∈l¢，且AP=BQ=CR=l与m的距离d． 连PD、QE、RF，那么由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m． PD=，QE=，RF=． 当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF， Þ=+．解之得d= 当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD－RF，Þ=－．无实解． ∴ l与m距离为． 五、(20分)设n是自然数，fn(x)= (x¹0，±1)，令y=x+． 1.求证:fn+1(x)=yfn(x)-fn－1(x)，(n>1) 2.用数学归纳法证明： fn(x)= 证明： ⑴ 由yfn(x)-fn－1(x)= ==fn+1(x)．故证． ⑵ f1(x)= x+，f2(x)=x2+1+x－2=(x+)2－1=y2－1．故命题对n=1，2 成立． 设对于n≤m(m≥2，m为正整数)，命题成立，现证命题对于n=m+1成立． 1． 假设m为偶数，那么m+1为奇数．由归纳假设知，对于n=m及n=m－1，有 fm(x)= ym－Cym－2+C ym－4+…+(－1)iCym