2023年高考数学一轮复习学案（人教版A版）――集合高中数学.docx

2023年高考数学一轮复习精品学案〔人教版A版〕――集 合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 〔1〕通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于〞关系； 〔2〕能选择自然语言、图形语言、集合语言〔列举法或描述法〕描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的根本关系 〔1〕理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； 〔2〕在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的根本运算 〔1〕理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 〔2〕理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 〔3〕能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集开展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。 预测2023年高考将继续表达本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为： 〔1〕题型是1个选择题或1个填空题； 〔2〕热点是集合的根本概念、运算和工具作用 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 〔1〕集合中的对象称元素，假设a是集合A的元素，记作；假设b不是集合A的元素，记作； 〔2〕集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，那么或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； 互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体〔对象〕，因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； 〔3〕表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值〔或变化〕范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 〔4〕常用数集及其记法： 非负整数集〔或自然数集〕，记作N； 正整数集，记作Nx或N+； 整数集，记作Z； 有理数集，记作Q； 实数集，记作R。 2．集合的包含关系： 〔1〕集合A的任何一个元素都是集合B的元素，那么称A是B的子集〔或B包含A〕，记作AB〔或〕； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。假设AB且BA，那么称A等于B，记作A=B；假设AB且A≠B，那么称A是B的真子集，记作A B； 〔2〕简单性质：1〕AA；2〕A；3〕假设AB，BC，那么AC；4〕假设集合A是n个元素的集合，那么集合A有2n个子集〔其中2n－1个真子集〕； 3．全集与补集： 〔1〕包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U； 〔2〕假设S是一个集合，AS，那么，=称S中子集A的补集； 〔3〕简单性质：1〕()=A；2〕S=，=S 4．交集与并集： 〔1〕一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。交集。 〔2〕一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。 注意：求集合的并、交、补是集合间的根本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且〞与“或〞，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5．集合的简单性质： 〔1〕 〔2〕 〔3〕 〔4〕； 〔5〕〔A∩B〕=〔A〕∪〔B〕，〔A∪B〕=〔A〕∩〔B〕。 四．【典例解析】 题型1：集合的概念 (2023湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，那么喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 答案 ：12 解析 设两者都喜欢的人数为人，那么只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。 例1．〔2023广东卷理〕全集，集合和 的关系的韦恩〔Venn〕图如图1所示，那么阴影局部所示的集合的元素共有 ( ) A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多个 答案 B 解析 由得，那么，有2个，选B. 例2．(2023山东卷理)集合,,假设,那么的值 为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析 ∵,,∴∴,应选D. 【命题立意】:此题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,此题属于容易题. 题型2：集合的性质 例3．(2023山东卷理)集合,,假设,那么的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.4 答案 D 解析 ∵,,∴∴,应选D. 【命题立意】:此题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,此题属于容易题. 随堂练习 1.( 广东地区2023年01月份期末试题汇编)设全集U=R，A={x∈N︱1≤x≤10}，B={ x∈R︱x 2+ x－6=0}，那么以以下图中阴影表示的集合为 〔 〕 A．{2} B．{3} C．{－3，2} D．{－2，3} 2. 集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B={y|y2-6y+8≤0}，假设A∩B≠φ，那么实数a的取值范围为〔 〕． 分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．此题假设直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，假设我们先考虑其反面，再求其补集，就比拟容易得到正确的解答． 解：由题知可解得A={y|y>a2+1或y<a}, B={y|2≤y≤4},我们不妨先考虑当A∩B＝φ时a的范围．如图 由，得 ∴或. 即A∩B＝φ时a的范围为或.而A∩B≠φ时a的范围显然是其补集,从而所求范围为. 评注：一般地，我们在解时，假设正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想〞． 例4．全集，A={1,}如果，那么这样的实数是否存在？假设存在，求出，假设不存在，说明理由 解：∵； ∴，即＝0，解得 当时，，为A中元素； 当时， 当时， ∴这样的实数x存在，是或。 另法：∵ ∴， ∴＝0且 ∴或。 点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。分类讨论的过程中“当时，〞不能满足集合中元素的互异性。此题的关键是理解符号是两层含义：。 变式题：集合，,,求的值。 解：由可知， 〔1〕，或〔2〕 解〔1〕得， 解〔2〕得， 又因为当时，与题意不符， 所以，。 题型3：集合的运算 例5．(2023年河南省上蔡一中高三月考)函数的定义域集合是A,函数的定义域集合是B 〔1〕求集合A、B 〔2〕假设AB=B,求实数的取值范围． 解 〔1〕A＝ B＝ 〔2〕由AB＝B得AB，因此 所以,所以实数的取值范围是 例6．〔2023宁夏海南卷理〕集合,那么( ) A. B. C. D. 答案 A 解析 易有，选A 点评：该题考察了集合的交、补运算。 题型4：图解法解集合问题 例7．〔2023年广西北海九中训练〕集合M=，N=，那么 〔 〕 A． B． C． D． 答案 C 例8．湖南省长郡中学2023届高三第六次月考试卷数学〔理〕试卷 设全集，函数的定义域为A，集合，假设恰好有2个元素，求a的取值集合。 解： 时， ∴ ∴ ，∴ ∴ 当时，在此区间上恰有2个偶数。 2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．假设对于任意的，总有，那么称集合具有性质． 〔I〕对任何具有性质的集合，证明：； 〔II〕判断和的大小关系，并证明你的结论． 解：〔I〕证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个． 因为，所以； 又因为当时，时，，所以当时，． 从而，集合中元素的个数最多为， 即． 〔II〕解：，证明如下： 〔1〕对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立． 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 〔2〕对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立， 故与也是的不同元素． 可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由〔1〕〔2〕可知，． 例9．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果 赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人。问对A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 解：赞成A的人数为50×=30，赞成B的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合A；赞成事件B的学生全体为集合B。 设对事件A、B都赞成的学生人数为x,那么对A、B都不赞成的学生人数为+1,赞成A而不赞成B的人数为30－x，赞成B而不赞成A的人数为33－x。依题意(30－x)+(33－x)+x+(+1)=50,解得x=21。所以对A、B都赞成的同学有21人，都不赞成的有8人。 点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。此题主要强化学生的这种能力。解答此题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。此题难点在于所给的数量关系比拟错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。 例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？ 解：如图先画出Venn图，不难看出不符合条件 的数共有〔200÷2〕＋〔200÷3〕＋(200÷5) －(200÷10)－(200÷6)－(200÷15) ＋(200÷30)＝146 所以，符合条件的数共有200－146＝54〔个〕 点评：分析20