2023年全国甲卷数学（理科）高考真题（含答案）.docx

2023年普通高等学校招生全国统一考试〔全国甲卷〕 理科数学 考前须知： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答复非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。 1．假设，那么〔 〕 A． B． C． D． 2．某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各答复一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下列图： 那么〔 〕 A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于 B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于 C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 3．设全集，集合，那么〔 〕 A． B． C． D． 4．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，那么该多面体的体积为〔 〕 A．8 B．12 C．16 D．20 5．函数在区间的图像大致为〔 〕 A． B． C． D． 6．当时，函数取得最大值，那么〔 〕 A． B． C． D．1 7．在长方体中，与平面和平面所成的角均为，那么〔 〕 A． B．AB与平面所成的角为 C． D．与平面所成的角为 8．沈括的?梦溪笔谈?是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术〞，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在上，．“会圆术〞给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，〔 〕 A． B． C． D． 9．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．假设，那么〔 〕 A． B． C． D． 10．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．假设直线的斜率之积为，那么C的离心率为〔 〕 A． B． C． D． 11．设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，那么的取值范围是〔 〕 A． B． C． D． 12．，那么〔 〕 A． B． C． D． 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。 13．设向量，的夹角的余弦值为，且，那么_________． 14．假设双曲线的渐近线与圆相切，那么_________． 15．从正方体的8个顶点中任选4个，那么这4个点在同一个平面的概率为________． 16．中，点D在边BC上，．当取得最小值时，________． 三、解答题：共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 〔一〕必考题：共60分。 17．〔12分〕 记为数列的前n项和．． 〔1〕证明：是等差数列； 〔2〕假设成等比数列，求的最小值． 18．〔12分〕 在四棱锥中，底面． 〔1〕证明：； 〔2〕求PD与平面所成的角的正弦值． 19．〔12分〕 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． 〔1〕求甲学校获得冠军的概率； 〔2〕用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 20．〔12分〕 设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． 〔1〕求C的方程； 〔2〕设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 21．〔12分〕 函数． 〔I〕假设，求a的取值范围； 〔2〕证明：假设有两个零点，那么． 〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，那么按所做的第一题计分。 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕 在直角坐标系中，曲线的参数方程为〔t为参数〕，曲线的参数方程为〔s为参数〕． 〔1〕写出的普通方程； 〔2〕以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标． 23．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕 a，b，c均为正数，且，证明： 〔1〕； 〔2〕假设，那么． 绝密★启用前 2023年普通高等学校招生全国统一考试〔全国甲卷〕 理科数学 参考答案 考前须知： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答复非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的. 1. C 2. B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A 二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分. 13. 14. 15.. 16. ## 三、解答题：共70分．解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答. 〔一〕必考题：共60分． 17. 〔1〕解：因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2） ． 18. 〔1〕证明：在四边形中，作于，于， 因为， 所以四边形为等腰梯形， 所以， 故，， 所以， 所以， 因为平面，平面， 所以， 又， 所以平面， 又因平面， 所以； 〔2〕. 19. 〔1〕； 〔2〕分布列见解析，. 【解析】依题可知，的可能取值为，所以， , ， ， . 即的分布列为 0 10 20 30 0.16 0.44 0.34 0.06 期望. 20. 〔1〕； 〔2〕. 21. 函数． 〔1〕 〔2〕由题知,一个零点小于1,一个零点大于1 不妨设 要证,即证 因为,即证 因为,即证 即证 即证 下面证明时， 设， 那么 设 所以,而 所以,所以 所以在单调递增 即,所以 令 所以在单调递减 即,所以； 综上, ,所以. 〔二〕选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程] 22. 〔1〕； 〔2〕的交点坐标为，，的交点坐标为，． [选修4-5：不等式选讲] 23.〔1〕证明：由柯西不等式有， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以； 〔2〕证明：因为，，，，由〔1〕得， 即，所以， 由权方和不等式知， 当且仅当，即，时取等号， 所以