2023学年高考数学大二轮复习能力升级练十八圆锥曲线综合问题1文2.docx

能力升级练(十八)　圆锥曲线综合问题(1) 1.(2023河南开封三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为3的等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A,B两点,直线l:x=4与x轴交于点E,M为线段EF的中点,过点B作直线BN⊥l于点N.证明:A,M,N三点共线. 解(1)记椭圆C的焦距为2c,则a=2c,12×2c×b=3,a2=b2+c2, 解得a=2,b=3, ∴椭圆C的方程为x24+y23=1. (2)F(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1), 代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2, 易知M52,0,N(4,y2),kAM=y1x1-52,kMN=2y23, ∵2y2x1-52-3y1=2k(x2-1)x1-52-3k(x1-1) =k[2x1x2-5(x1+x2)+8]=k8k2-243+4k2-40k23+4k2+8=0, ∴kAM=kMN,∴A,M,N三点共线. 2.设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0). (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程; (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. 解(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1. 由已知可得,点A的坐标为1,22或1,-22. 所以AM的方程为y=-22x+2或y=22x-2. (2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°, 当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB. 当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y1x1-2+y2x2-2, 由y1=kx1-k,y2=kx2-k得 kMA+kMB=2kx1x2-3k(x1+x2)+4k(x1-2)(x2-2). 将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0, 所以,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1. 则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-4k-12k3+8k3+4k2k2+1=0. 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB. 综上,∠OMA=∠OMB. 3.(2023山东日照联考)已知抛物线E:y2=2px(p>0)上在第一象限内的点H(1,t)到焦点F的距离为2. (1)若M-14,0,过点M,H的直线与该抛物线相交于另一点N,求|NF|的值; (2)设A、B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点,且OA·OB=94(其中O为坐标原点). ①求证:直线AB必过定点,并求出该定点Q的坐标; ②过点Q作AB的垂线与该抛物线交于D、G两点,求四边形AGBD面积的最小值. 解(1)∵点H(1,t)在抛物线y2=2px(p>0)上, ∴1+p2=2,解得p=2, 故抛物线E的方程为y2=4x, 所以当x=1时t=2, ∴直线MH的方程为y=85x+25,联立y2=4x可得,xN=116,|NF|=xN+p2=116+1=1716. (2)①证明:设直线AB:x=my+t,Ay124,y1,By224,y2, 联立抛物线方程可得y2-4my-4t=0, y1+y2=4m,y1y2=-4t, 由OA·OB=94,得(y1y2)216+y1y2=94,解得y1y2=-18或y1y2=2(舍去), 即-4t=-18⇒t=92,所以直线AB过定点Q92,0. ②由①得|AB|=1+m2|y2-y1|=1+m2·16m2+72, 设D(x3,y3),G(x4,y4), 则同理,得|GD|=1+(-1m) 2|y4-y3|=1+1m272+16m2. 则四边形AGBD面积S=12|AB|·|GD|=121+m2·16m2+72·1+1m2·72+16m2 =4[2+(m2+1m2)]·[85+18(m2+1m2)]. 令m2+1m2=μ(μ≥2),则S=418μ2+121μ+170是关于μ的增函数,故当μ=2时,Smin=88. 当且仅当m=±1时取到最小值88. 4.(2023豫南九校联考)设椭圆x2a2+y23=1(a>3)的右焦点为F,右顶点为A.已知|OA|-|OF|=1,其中O为原点,e为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程及离心率e的值; (2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA≤∠MAO,求直线l的斜率的取值范围. 解(1)由题意可知|OF|=c=a2-3,又|OA|-|OF|=1,所以a-a2-3=1,解得a=2,所以椭圆的方程为x24+y23=1,离心率e=ca=12. (2)设M(xM,yM),易知A(2,0),在△MAO中,∠MOA≤∠MAO⇔MA≤MO,即(xM-2)2+yM2≤xM2+yM2,化简得xM≥1. 设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(xB,yB),由x24+y23=1,y=k(x-2)消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0, 解得x=2或x=8k2-64k2+3. 由题意得xB=8k2-64k2+3,从而yB=-12k4k2+3. 由(1)知F(1,0),设H(0,yH), 则FH=(-1,yH),BF=9-4k24k2+3,12k4k2+3. 由BF⊥HF,得BF·FH=0,即4k2-94k2+3+12kyH4k2+3=0,解得yH=9-4k212k, 所以直线MH的方程为y=-1kx+9-4k212k. 由y=k(x-2),y=-1kx+9-k212k 消去y,得xM=20k2+912(k2+1). 由xM≥1,得20k2+912(k2+1)≥1,解得k≤-64或k≥64,所以直线l的斜率的取值范围为-∞,-64∪64,+∞. 6