2023学年高考数学大二轮复习能力升级练十八圆锥曲线综合问题1文2.docx

能力升级练(十八)圆锥曲线综合问题(1)1.(2023河南开封三模)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的上顶点与左、右焦点的连线构成面积为❑√3的等边三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过C的右焦点F作斜率为k的直线l1与C交于A,B两点,直线l:x=4与x轴交于点E,M为线段EF的中点,过点B作直线BN⊥l于点N.证明:A,M,N三点共线.解(1)记椭圆C的焦距为2c,则{a=2c,12×2c×b=❑√3,a2=b2+c2,解得a=2,b=❑√3,∴椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)F(1,0),设直线l1的方程为y=k(x-1),代入椭圆C的方程,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,1易知M52,0,N(4,y2),kAM=y1x1-52,kMN=2y23, 2y2x1-52-3y1=2k(x2-1)x1-52-3k(x1-1)=k[2x1x2-5(x1+x2)+8]=k8k2-243+4k2−40k23+4k2+8=0,∴kAM=kMN,∴A,M,N三点共线...