2023学年高考数学大二轮复习能力升级练十八椭圆双曲线与抛物线理2.docx

能力升级练(十八)　椭圆、双曲线与抛物线 一、选择题 1.(2023福建厦门3月质量检查)若抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为1,则a=(　　) A.2 B.4 C.±2 D.±4 解析由抛物线x2=ay,可知:焦点坐标为0,a4,准线方程为y=-a4,∴抛物线x2=ay的焦点到准线的距离为a4+a4=1,解得a=±2,故选C. 答案C 2.(2023四川成都高新区高三一诊)已知椭圆C:16x2+4y2=1,则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为12 B.焦距为34 C.短轴长为14 D.离心率为32 解析把椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得x2116+y214=1,所以a=12,b=14,c=34,长轴长为2a=1,焦距2c=32,短轴长为2b=12,离心率e=ca=32,故选D. 答案D 3.双曲线C1的中心在原点,焦点在x轴上,若C1的一个焦点与抛物线C2:y2=12x的焦点重合,且抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为43,则双曲线C1的实轴长为(　　) A.6 B.26 C.3 D.23 解析设双曲线C1的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0). 由已知,抛物线C2的焦点为(3,0),准线方程为x=-3,即双曲线中c=3,a2+b2=9;将-3代入双曲线方程,解得y=±ba9-a2,又抛物线C2的准线交双曲线C1所得的弦长为43,所以2×ba9-a2=43与a2+b2=9联立,得a2+23a-9=0,解得a=3,故双曲线C1的实轴长为23.故选D. 答案D 4.(2023青海西宁四中第二次模拟)双曲线x216-y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,在左支上过点F1的弦AB的长为5,那么△ABF2的周长是(　　) A.12 B.16 C.21 D.26 解析依题意,|AF2|-|AF1|=2a=8,|BF2|-|BF1|=2a=8, ∴|AF2|-|AF1|+(|BF2|-|BF1|)=16, 又|AB|=5, ∴|AF2|+|BF2|=16+(|AF1|+|BF1|)=16+|AB|=16+5=21. ∴|AF2|+|BF2|+|AB|=21+5=26.即△ABF2的周长是26.故选D. 答案D 5.(2023广东东莞二调)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为(　　) A.13 B.12 C.23 D.34 解析设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,则直线方程为xc+yb=1,椭圆中心到l的距离为其短轴长的14,可得11c2+1b2=b2,4=b21c2+1b2,∴b2c2=3,a2-c2c2=3,∴e=ca=12.故选B. 答案B 6.(2023湖北七市教研协作体4月联考)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2-y23=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A,B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则抛物线的方程为(　　) A.y2=2x B.y2=3x C.y2=4x D.y2=x 解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为p2,0,准线方程为x=-p2,双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=±3x,由于过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与双曲线x2-y23=1的一条渐近线平行,并交抛物线于A,B两点,且|AF|>|BF|,所以可设直线AB方程为y=3x-p2,设A(x0,y0)x0>p2,则|AF|=x0+p2=2,x0=2-p2,由x0>p2可得0<p<2,所以y0=3(2-p),由3(2-p)2=2p2-p2,得p=1或p=3(舍去),所以抛物线方程为y2=2x,故选A. 答案A 7.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,A,B为其左、右顶点,点P为双曲线C在第一象限的任意一点,点O为坐标原点,若PA,PB,PO的斜率为k1,k2,k3,则m=k1k2k3的取值范围为(　　) A.(0,33) B.(0,3) C.0,39 D.(0,8) 解析e=ca=2,b=3a,设P(x,y),则x2a2-y2b2=1,k1k2=yx+a·yx-a=y2x2-a2=b2a2=3,又双曲线的渐近线为y=±3x,所以0<k3<3,故0<m<33,选A. 答案A 8.(2023贵州遵义绥阳中学模拟)抛物线有如下光学性质:过焦点的光线(光线不同过抛物线对称轴上任意两点)经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若一条平行于x轴的光线从M(3,1)射出,经过抛物线y2=4x上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B反射出,则直线AB的斜率为(　　) A.-43 B.43 C.±43 D.-169 解析把y=1代入y2=4x,解得x=14,即A14,1.由抛物线的光学性质知,直线AB经过焦点(1,0),所以直线AB的斜率k=1-014-1=-43.故选A. 答案A 二、填空题 9.(2023江西九江一模)如图,中心在坐标原点,焦点分别在x轴和y轴上的椭圆C1,C2都过点A(0,-2),且椭圆C1,C2的离心率相等,以椭圆C1,C2的四个焦点为顶点的四边形面积为22,则椭圆C1的标准方程为　　　　　.  解析由题意可设椭圆C1:x2a2+y22=1,C2:y22+x2b2=1(a>2,0<b<2), 由a2-2a2=2-b22,即有ab=2, 由2a2-2·2-b2=22, 可得(a2-2)(2-b2)=2, 解得a=2,b=1,即有椭圆C1:x24+y22=1. 答案x24+y22=1 10.(2023安徽蚌埠二中一模)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,过椭圆上一点M作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,且斜率分别为k1,k2,若点A,B关于原点对称,则k1·k2的值为　　　　　.  解析∵椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是e=ca=1-b2a2=32,a=2b, 于是椭圆的方程可化为x2+4y2=4b2. 设M(m,n),直线AB的方程为y=kx,可得A(x0,kx0),B(-x0,-kx0). 则m2+4n2=4b2,x02+4k2x02=4b2.m2-x02=4k2x02-4n2, ∴k1·k2=kx0-nx0-m×-kx0-n-x0-m=n2-k2x02m2-x02=n2-k2x024k2x02-4n2=-14.k1·k2=-14. 答案-14 11.(2023全国Ⅲ,理15)设F1,F2为椭圆C:x236+y220=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为　　　　　.  解析∵a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4. 由题意得,|MF1|=|F1F2|=2c=8. ∵|MF1|+|MF2|=2a=12, ∴|MF2|=4. 设点M的坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0), 则S△MF1F2=12×|F1F2|×y0=4y0. 又S△MF1F2=12×4×82-22=415, ∴4y0=415,解得y0=15. 又点M在椭圆C上,∴x0236+(15)220=1, 解得x0=3或x0=-3(舍去). ∴点M的坐标为(3,15). 答案(3,15) 12.(2023山西吕梁一模) 如图所示,点F是抛物线y2=8x的焦点,点A、B分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且AB总是平行于x轴,则△FAB的周长的取值范围是　　　　　　.  解析易知圆(x-2)2+y2=16的圆心为(2,0),正好是抛物线y2=8x的焦点,圆(x-2)2+y2=16与抛物线y2=8x在第一象限交于点C(2,4),过点A作抛物线准线的垂线,垂足为点D,则AF=AD,则AF+AB=AD+AB=BD,当点B位于圆(x-2)2+y2=16与x轴的交点(6,0)时,BD取最大值8,由于点B在实线上运动,因此当点B与点C重合时,BD取最小值4,此时A与B重合,由于F、A、B构成三角形,因此4<BD<8,所以,8<BF+BD<12. 答案(8,12) 三、解答题 13.(2023贵州贵阳模拟)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点M为短轴的上端点,MF1·MF2=0,过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=2. (1)求椭圆C的方程; (2)设经过点(2,-1)且不经过点M的直线l与C相交于G,H两点.若k1,k2分别为直线MH,MG的斜率,求k1+k2的值. 解(1)由MF1·MF2=0,得b=c. 因为过F2垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=2, 所以b2a=22,b=c,b2a=22,a2=b2+c2⇒a2=2,b2=1. 故椭圆C的方程为x22+y2=1. (2)设直线l的方程为y+1=k(x-2),即y=kx-2k-1,显然k≠-1且k≠0. 将y=kx-2k-1代入x22+y2=1,得(1+2k2)x2-4k(2k+1)x+8k2+8k=0, 由题设可知Δ=-16k(k+2)>0,设G(x1,y1),H(x2,y2), 则x1+x2=4k(2k+1)1+2k2,x1x2=8k2+8k1+2k2, k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1-2k-2x1+kx2-2k-2x2=2k-(2k+2)×4k(2k+1)1+2k28k2+8k1+2k2=2k-(2k+1)=-1,所以k1+k2=-1. 14.(2023天津,理18)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为55. (1)求椭圆的方程; (2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率. 解(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,ca=55,又a2=b2+c2,可得a=5,b=2,c=1.所以,椭圆的方程为x25+y24=1. (2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0), 又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立y=kx+2,x25+y24=1, 整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-20k4+5k2, 代入y=kx+2得yP=8-10k24+5k2,进而直线OP的斜率yPxP=4-5k2-10k. 在y=kx+2中,令y=0,得xM=-2k. 由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-k2.由OP⊥MN,得4-5k2-10k·-k2=-1,化简得k2=245,从而k=±2305. 所以,直线PB的斜率为2305或-2305. 9