2023学年高考数学大二轮复习能力升级练二十四分类讨论思想文2.docx

能力升级练(二十四)　分类讨论思想 一、选择题 1.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3}.若C∩A=C,则a的取值范围为(　　) A.-32,-1 B.-∞,-32 C.(-∞,-1] D.-32,+∞ 解析因为C∩A=C,所以C⊆A. ①当C=∅时,满足C⊆A,此时-a≥a+3,得a≤-32; ②当C≠∅时,要使C⊆A,则-a<a+3,-a≥1,a+3<5, 解得-32<a≤-1. 由①②得a≤-1. 答案C 2.已知函数f(x)=log2(x+1),x>3,2x-3+1,x≤3满足f(a)=3,则f(a-5)的值为(　　) A.log23 B.1716 C.32 D.1 解析分两种情况分析,a≤3,2a-3+1=3,①或者a>3,log2(a+1)=3②,①无解,由②得a=7,所以f(a-5)=22-3+1=32,故选C. 答案C 3.已知数列{an}的前n项和Sn=Pn-1(P是常数),则数列{an}是(　　) A.等差数列 B.等比数列 C.等差数列或等比数列 D.以上都不对 解析∵Sn=Pn-1,∴a1=P-1,an=Sn-Sn-1=(P-1)·Pn-1(n≥2). 当P≠1且P≠0时,{an}是等比数列; 当P=1时,{an}是等差数列; 当P=0时,a1=-1,an=0(n≥2),此时{an}既不是等差数列也不是等比数列. 答案D 4.已知中心在坐标原点,焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y=±34x,则双曲线的离心率为(　　) A.54 B.53 C.54或53 D.35或45 解析若双曲线的焦点在x轴上,则ba=34,e=ca=1+(ba) 2=54;若双曲线的焦点在y轴上,则ba=43,e=ca=1+(ba) 2=53,故选C. 答案C 5.已知变量x,y满足的不等式组x≥0,y≥2x,kx-y+1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实数k等于(　　) A.-12 B.12 C.0 D.-12或0 解析不等式组x≥0,y≥2x,kx-y+1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示,由图可知若不等式组表示的平面区域是直角三角形,只有直线y=kx+1与直线x=0垂直(如图①)或直线y=kx+1与直线y=2x垂直(如图②)时,平面区域才是直角三角形. 由图形可知斜率k的值为0或-12. 答案D 6.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为(　　) A.24 B.18 C.12 D.6 解析当选0时,先从1,3,5中选两个数字有C32种方法,然后从选中的两个数字中选一个排在末位有C21种方法,剩余一个数字排在首位,共有C32C21=6种方法; 当选2时,先从1,3,5中选两个数字有C32种方法,然后从选中的两个数字中选一个排在末位有C21种方法,其余两个数字全排列,共有C32C21A22=12种方法.依分类加法计数原理知,共有6+12=18个奇数. 答案B 二、填空题 7.若x>0且x≠1,则函数y=lg x+logx10的值域为　　　　　.  解析当x>1时,y=lgx+1lgx≥2lgx·1lgx=2,当且仅当lgx=1,即x=10时等号成立;当0<x<1时,y=lgx+1lgx=--lgx+-1lgx≤-2-lgx·1-lgx=-2,当且仅当lgx=1lgx,即x=110时等号成立.∴y∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 答案(-∞,-2]∪[2,+∞) 8.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形,则它的体积为　　　　　.  解析若侧面矩形的长为6,宽为4,则V=S底×h=12×2×2×sin60°×4=43. 若侧面矩形的长为4,宽为6,则V=S底×h=12×43×43×sin60°×6=833. 答案43或833 9.设F1,F2为椭圆x29+y24=1的两个焦点,P为椭圆上一点.已知P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,且|PF1|>|PF2|,则|PF1||PF2|的值为　　　　　.  解析若∠PF2F1=90°,则|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2, ∵|PF1|+|PF2|=6,|F1F2|=25, 解得|PF1|=143,|PF2|=43,∴|PF1||PF2|=72. 若∠F2PF1=90°, 则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 =|PF1|2+(6-|PF1|)2, 解得|PF1|=4,|PF2|=2, ∴|PF1||PF2|=2.综上所述,|PF1||PF2|=2或72. 答案2或72 10.设等比数列{an}的公比为q,前n项和Sn>0(n=1,2,3,…),则q的取值范围是　　　　　.  解析因为{an}是等比数列,Sn>0,可得a1=S1>0,q≠0. 当q=1时,Sn=na1>0; 当q≠1时,Sn=a1(1-qn)1-q>0, 即1-qn1-q>0(n∈N*),则有1-q>0,1-qn>0① 或1-q<0,1-qn<0,② 由①得-1<q<1,由②得q>1. 故q的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞). 答案(-1,0)∪(0,+∞) 三、解答题 11.已知函数g(x)=axx+1(a∈R),f(x)=ln(x+1)+g(x). (1)若函数g(x)过点(1,1),求函数f(x)的图象在x=0处的切线方程; (2)判断函数f(x)的单调性. 解(1)因为函数g(x)过点(1,1),所以1=a1+1,解得a=2,所以f(x)=ln(x+1)+2xx+1. 由f'(x)=1x+1+2(x+1)2=x+3(x+1)2,则f'(0)=3,所以所求的切线的斜率为3. 又f(0)=0,所以切点为(0,0),故所求的切线方程为y=3x. (2)因为f(x)=ln(x+1)+axx+1(x>-1), 所以f'(x)=1x+1+a(x+1)-ax(x+1)2=x+1+a(x+1)2. ①当a≥0时,因为x>-1,所以f'(x)>0, 故f(x)在(-1,+∞)上单调递增. ②当a<0时,由f'(x)<0,x>-1,得-1<x<-1-a, 故f(x)在(-1,-1-a)上单调递减; 由f'(x)>0,x>-1,得x>-1-a, 故f(x)在(-1-a,+∞)上单调递增. 综上,当a≥0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递增; 当a<0时,函数f(x)在(-1,-1-a)上单调递减, 在(-1-a,+∞)上单调递增. 12.已知椭圆C的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且F2到直线x-3y-9=0的距离等于椭圆的短轴长. (1)求椭圆C的方程; (2)若圆P的圆心为P(0,t)(t>0),且经过F1,F2两点,Q是椭圆C上的动点且在圆P外,过Q作圆P的切线,切点为M,当|QM|的最大值为322时,求t的值. 解(1)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0), 依题意可得2b=|1-9|2=4,所以b=2,又c=1,所以a2=b2+c2=5, 所以椭圆C的方程为x25+y24=1. (2)设Q(x,y),圆P的方程为x2+(y-t)2=t2+1, 连接PM(图略),因为QM为圆P的切线,所以PM⊥QM, 所以|QM|=|PQ|2-t2-1 =x2+(y-t)2-t2-1=-14(y+4t)2+4+4t2. ①若-4t≤-2,即t≥12, 当y=-2时,|QM|取得最大值, 且|QM|max=4t+3=322, 解得t=38<12(舍去). ②若-4t>-2, 即0<t<12,当y=-4t时,|QM|取得最大值, 且|QM|max=4+4t2=322,解得t2=18,又0<t<12,所以t=24. 综上,当t=24时, |QM|的最大值为322. 8