2023学年高考数学大二轮复习能力升级练二十四数形结合思想理2.docx

能力升级练(二十四)　数形结合思想 一、选择题 1.方程|x2-2x|=a2+1(a>0)的解的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析∵a>0,∴a2+1>1.而y=|x2-2x|的图象如图,∴y=|x2-2x|的图象与y=a2+1的图象总有两个交点. 答案B 2.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.(-∞,-1]∪[4,+∞)　　B.(-∞,-2]∪[5,+∞) C.[1,2] D.(-∞,1]∪[2,+∞) 解析(1)f(x)=|x+3|-|x-1|=-4(x<-3),2x+2(-3≤x≤1),4(x>1).画出函数f(x)的图象,如图,可以看出函数f(x)的最大值为4,故只要a2-3a≥4即可,解得a≤-1或a≥4.故选A. 答案A 3.已知函数f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0,若方程f(x)=a有4个不相等的实数根,则a的取值范围是(　　) A.[1,2) B.(1,2) C.[2,e) D.(2,e) 解析如图,作出函数f(x)=e|x-1|,x>0,-x2-2x+1,x≤0的大致图象, 其中f(-1)=2,f(0)=f(1)=1. 作出直线y=a,显然当a∈(1,2)时,直线y=a与函数f(x)的图象有4个不同的交点,即方程f(x)=a有4个不相等的实数根.故选B. 答案B 4.已知函数f(x)=-x2+2x,x≤0,ln(x+1),x>0,若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] 解析函数y=|f(x)|的图象如图. ①当a=0时,|f(x)|≥ax显然成立. ②当a>0时,只需在x>0时, ln(x+1)≥ax成立. 比较对数函数与一次函数y=ax的增长速度. 显然不存在a>0使ln(x+1)≥ax在x>0上恒成立. ③当a<0时,只需在x≤0时,x2-2x≥ax成立. 即a≥x-2成立,所以a≥-2. 综上所述:-2≤a≤0.故选D. 答案D 5.设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 解析(1)由题意知圆的圆心坐标为(3,-1),半径长为2,|PQ|的最小值为圆心到直线x=-3的距离减去圆的半径长,所以|PQ|min=3-(-3)-2=4.故选B. 答案B 二、填空题 6.经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为　　　　　,　　　　　.  解析如图所示,结合图形:为使l与线段AB总有公共点,则kPA≤k≤kPB,而kPB>0,kPA<0,故k<0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>0时,α为锐角. 又kPA=-2-(-1)1-0=-1,kPB=-1-10-2=1,∴-1≤k≤1. 又当0≤k≤1时,0≤α≤π4; 当-1≤k<0时,3π4≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈0,π4∪3π4,π. 答案[-1,1]　0,π4∪3π4,π 7.若在区间(-1,1)内任取实数a,在区间(0,1)内任取实数b,则直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交的概率为　　　　　.  解析直线ax-by=0与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交应满足|a-2b|a2+b2<1,即4a>3b. 在平面直角坐标系aOb中,-1<a<1,0<b<1表示的平面区域为图中矩形ABCD的内部,在此区域内满足4a>3b的区域为图中OCDE的内部,由E34,1,可求得梯形OCDE的面积为58,而矩形ABCD的面积为2,由几何概型可知,所求的概率为516. 答案516 8.已知函数f(x)=x+1,0≤x<1,2x-12,x≥1,若a>b≥0,且f(a)=f(b),则bf(a)的取值范围是　　　　.  解析如图,f(x)在[0,1),[1,+∞)上均单调递增,由a>b≥0及f(a)=f(b)知a≥1>b≥12.bf(a)=bf(b)=b(b+1)=b2+b,∵12≤b<1,∴34≤bf(a)<2. 答案34,2 9.过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A、B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为　　　　　.  解析∵S△AOB=12|OA||OB|sin∠AOB =12sin∠AOB≤12. 当∠AOB=π2时,S△AOB面积最大. 此时O到AB的距离d=22. 设AB方程为y=k(x-2)(k<0), 即kx-y-2k=0. 由d=|2k|k2+1=22得k=-33. 答案-33 三、解答题 10.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们在x=1处的切线互相平行. (1)求b的值; (2)若函数F(x)=f(x),x≤0,g(x),x>0,且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围. 解(1)f'(x)=3ax2-3a,f'(1)=0, g'(x)=2bx-1x,g'(1)=2b-1, 依题意,得2b-1=0,所以b=12. (2)x∈(0,1)时,g'(x)=x-1x<0,即g(x)在(0,1)上单调递减, x∈(1,+∞)时,g'(x)=x-1x>0,即g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=12; 当a=0时,方程F(x)=a2不可能有四个解; 当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,即f(x)在(-∞,-1)上单调递减, x∈(-1,0)时,f'(x)>0, 即f(x)在(-1,0)上单调递增, 图① 所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a, 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示, 从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解. 当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0, 即f(x)在(-∞,-1)上单调递增, x∈(-1,0)时,f'(x)<0, 即f(x)在(-1,0)上单调递减, 所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a. 图② 又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示, 从图②看出,若方程F(x)=a2有四个解,则12<a2<2a, 所以,实数a的取值范围是22,2. 8