2023学年高考数学大二轮复习能力升级练二十一不等式选讲文2.docx

能力升级练(二十一)　不等式选讲 1.已知a>0,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1. (1)求证:2a+b=2; (2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值. (1)证明f(x)=|x+a|+|2x-b|=|x+a|+x-b2+x-b2,∵|x+a|+x-b2≥ (x+a)-x-b2=a+b2且x-b2≥0,∴f(x)≥a+b2,当x=b2时取等号,即f(x)的最小值为a+b2, ∴a+b2=1,即2a+b=2. (2)解∵a+2b≥tab恒成立,∴a+2bab≥t恒成立,a+2bab=1b+2a=1b+2a(2a+b)·12=121+4+2ab+2ba≥121+4+22ab·2ba=92, 当a=b=23时,a+2bab取得最小值92, ∴92≥t,即实数t的最大值为92. 2.(2023辽宁沈阳第二中学月考)已知定义在R上的函数f(x)=|2x-k|+2|x|,k∈N*.存在实数x0使f(x0)<2成立. (1)求实数k的值. (2)若m>12,n>12且f(m)+f(n)=10,求证9m+1n≥163. (1)解∵存在实数x0使f(x0)<2成立,∴f(x)min<2. ∵|2x-k|+2|x|=|2x-k|+|2x|≥|2x-k-2x|=|k|,则f(x)min=|k|<2, 解得-2<k<2,k∈N*,∴k=1. (2)证明由(1)知,f(x)=|2x-1|+2|x|,∵m>12,n>12, ∴f(m)=|2m-1|+2|m|=2m-1+2m=4m-1,同理,f(n)=4n-1, ∵f(m)+f(n)=10,∴4m+4n-2=10,即m+n=3. ∴9m+1n=139m+1n(m+n)=1310+9nm+mn≥1310+29nm·mn=163, 当且仅当9nm=mn,又m+n=3,得m=94,n=34时取等号. 3.(2023河北石家庄质量检测(一))已知函数f(x)=|ax-1|-(a-2)x. (1)当a=3时,求不等式f(x)>0的解集; (2)若函数f(x)的图象与x轴没有交点,求实数a的取值范围. 解(1)当a=3时,不等式可化为|3x-1|-x>0,即|3x-1|>x, 当3x-1≥0,即x≥13时, 有3x-1>x, 解得x>12. 当3x-1<0,即x<13时, 有-3x+1>x,解得x<14. 所以不等式f(x)>0的解集为xx<14或x>12. (2)当a>0时,f(x)=2x-1,x≥1a,2(1-a)x+1,x<1a, 要使函数f(x)的图象与x轴无交点, 只需2a-1>0,2(1-a)≤0,即1≤a<2; 当a=0时,f(x)=2x+1,函数f(x)的图象与x轴有交点,不合题意; 当a<0时,f(x)=2x-1,x≤1a,2(1-a)x+1,x>1a, 要使函数f(x)的图象与x轴无交点, 只需-12(1-a)≤1a<0,此时无解. 综上可知,若函数f(x)的图象与x轴无交点,则实数a的取值范围为[1,2). 4.(2023全国Ⅲ,理23)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象; (2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值. 解(1)f(x)=-3x,x<-12,x+2,-12≤x<1,3x,x≥1. y=f(x)的图象如图所示. (2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)成立,因此a+b的最小值为5. 5.(2023河北石家庄精英中学模考)已知函数f(x)=|2x-a|+|2x+1|. (1)当a=1时,求f(x)≤2的解集; (2)若g(x)=4x2+ax-3.当a>-1且x∈-12,a2时,f(x)≥g(x),求实数a的取值范围. 解(1)当a=1时,f(x)=-4x,x<-12,2,-12≤x≤12,4x,x>12, 当x<-12时,f(x)≤2无解; 当-12≤x≤12时,f(x)≤2的解集为x-12≤x≤12; 当x>12时,f(x)≤2无解. 综上所述,f(x)≤2的解集为x-12≤x≤12. (2)当x∈-12,a2时,f(x)=(a-2x)+(2x+1)=a+1,所以f(x)≥g(x)可化为4x2+ax-a-4≤0. 又h(x)=4x2+ax-a-4在-12,a2上的最大值必为h-12,ha2之一,则1-a2-a-4≤0,a2+a22-a-4≤0, 即a≥-2,-43≤a≤2,即-43≤a≤2. 又a>-1,所以-1<a≤2,所以a的取值范围为(-1,2]. 5