2023学年高考数学大二轮复习大题专项练七选做题2.docx

大题专项练(七)　选做题 A组　基础通关 1.(2023辽宁沈阳东北育才学校八模)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|. (1)求f(x)≥3的解集; (2)记函数f(x)的最小值为M,若a>0,b>0,且a+2b=M,求1a+2b的最小值. 解(1)由f(x)≥3,得 x≤-1,-(x-1)-(x+1)≥3或-1<x≤1,-(x-1)+(x+1)≥3或x>1,(x-1)+(x+1)≥3, 即x≤-1,x≤-32或-1<x≤1,2≥3或x>1,x≥32. 解得x≤-32或x≥32, ∴不等式f(x)≥3的解集为-∞,-32∪32,+∞. (2)∵f(x)=|x-1|+|x+1|≥|(x-1)-(x+1)|=2, ∴f(x)的最小值M=2,∴a+2b=2, ∵a>0,b>0, ∴1a+2b=1a+2b·a+2b2=125+2ba+2ab≥125+22ba·2ab=92, 当且仅当2ba=2ab即a=b=23时等号成立, ∴1a+2b的最小值为92. 2.(2023江西赣州5月适应性考试)已知函数f(x)=|x+1|+2|x-1|. (1)求不等式f(x)≤4的解集; (2)若函数y=f(x)图象的最低点为(m,n),正数a,b满足ma+nb=4,求2a+1b的取值范围. 解(1)当x≤-1时,f(x)=-3x+1≤4,得x≥-1,所以x=-1, 当-1<x<1时,f(x)=-x+3≤4,得x≥-1,所以-1<x<1, 当x≥1时,f(x)=3x-1≤4,得x≤53,所以1≤x≤53, 综上,-1≤x≤53, 不等式f(x)≤4的解集为1,53. (2)由f(x)=-3x+1(x≤-1),-x+3(-1<x<1),3x-1(x≥1)的图象最低点为(1,2),即m=1,n=2, 所以a+2b=4,因为a>0,b>0, 所以2a+1b=14(a+2b)2a+1b=144+4ba+ab≥14(4+24)=2, 当且仅当a=2b=2时等号成立, 所以2a+1b的取值范围为[2,+∞). 3.(2023河北石家庄一模)已知函数f(x)=2|x-3|-|x|-m的定义域为R; (1)求实数m的取值范围; (2)设实数t为m的最大值,若实数a,b,c满足a2+b2+c2=t2,求1a2+1+1b2+2+1c2+3的最小值. 解(1)由题意可知2|x-3|-|x|≥m恒成立,令g(x)=2|x-3|-|x|, 去绝对值号,可得g(x)=2|x-3|-|x|=x-6(x≥3),6-3x(0<x<3),6-x(x≤0), 画图可知g(x)的最小值为-3,所以实数m的取值范围为m≤-3; (2)由(1)可知a2+b2+c2=9,所以a2+1+b2+2+c2+3=15, 1a2+1+1b2+2+1c2+3 =1a2+1+1b2+2+1c2+3·(a2+1+b2+2+c2+3)15 =3+b2+2a2+1+a2+1b2+2+c2+3a2+1+a2+1c2+3+c2+3b2+2+b2+2c2+315≥915=35, 当且仅当a2+1=b2+2=c2+3=5,即a2=4,b2=3,c2=2时等号成立, 所以1a2+1+1b2+2+1c2+3的最小值为35. 4.(2023河南十所名校高三毕业班阶段性测试)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为x=a+22t,y=22t(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为ρ2=85-3cos2θ,直线l与曲线C交于A,B两点. (1)求曲线C的直角坐标方程; (2)若线段AB的长度为425,求实数a的值. 解(1)由ρ2=85-3cos2θ,得ρ2(5-6cos2θ+3)=8,化简得4ρ2-3ρ2cos2θ=4. 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以方程可化为4(x2+y2)-3x2=4, 整理得x2+4y2=4,即x24+y2=1. (2)由直线l的参数方程x=a+22t,y=22t可得其普通方程为x-y-a=0. 联立x2+4y2=4,x-y-a=0可得5x2-8ax+4a2-4=0. 因为直线l与曲线C有两个交点, 所以Δ=64a2-4×5×(4a2-4)=80-16a2>0,得-5<a<5. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8a5,x1x2=4a2-45. |AB|=2|x1-x2|=2(x1+x2)2-4x1x2 =4255-a2. 由4255-a2=425,解得a=±2. 5.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线M的参数方程为x=1+cosφ,y=1+sinφ(φ为参数),过原点O且倾斜角为α的直线l交M于A、B两点.以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求l和M的极坐标方程; (2)当α∈0,π4时,求|OA|+|OB|的取值范围. 解(1)由题意可得,直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 曲线M的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=1, 因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,x2+y2=ρ2, 所以M的极坐标方程为ρ2-2(cosθ+sinθ)ρ+1=0. (2)设A(ρ1,α),B(ρ2,α),且ρ1、ρ2均为正数, 将θ=α代入ρ2-2(cosθ+sinθ)ρ+1=0, 得ρ2-2(cosα+sinα)ρ+1=0, 当α∈0,π4时,Δ=4sin2α>0, 所以ρ1+ρ2=2(cosα+sinα),根据极坐标的几何意义,|OA|,|OB|分别是点A,B的极径. 从而|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2(cosα+sinα)=22sinα+π4. 当α∈0,π4时,α+π4∈π4,π2, 故|OA|+|OB|的取值范围是(2,22]. 6.(2023陕西西安八校高三4月联考)已知曲线C1:x=-4+cost,y=3+sint(t为参数),C2:x=3cosθ,y=sinθ(θ为参数). (1)将C1,C2的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=π2,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:x=3+t,y=-2+t(t为参数)距离的最小值. 解(1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:x23+y2=1. C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆, C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是3,短半轴长是1的椭圆. (2)当t=π2时,P(-4,4),Q(3cosθ,sinθ),故M-2+32cosθ,2+12sinθ, C3为直线x-y-5=0,M到C3的距离 d=|32cosθ-12sinθ-9|2=22sinθ-π3+9, 从而当sinθ-π3=-1时,d取得最小值42. B组　能力提升 7.(2023全国Ⅲ,理23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z∈R,且x+y+z=1. (1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值; (2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1. (1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2 =(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)] ≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2], 故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥43, 当且仅当x=53,y=-13,z=-13时等号成立. 所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43. (2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a)]2 =(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a)+(z-a)(x-2)] ≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2], 故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥(2+a)23, 当且仅当x=4-a3,y=1-a3,z=2a-23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2的最小值为(2+a)23. 由题设知(2+a)23≥13,解得a≤-3或a≥-1. 7