2023学年高考数学一轮复习课时作业25平面向量的概念及其线性运算理.doc

课时作业25　平面向量的概念及其线性运算 [基础达标] 一、选择题 1．若m∥n，n∥k，则向量m与向量k(　　) A．共线　　　　B．不共线 C．共线且同向 D．不一定共线 解析：可举特例，当n＝0时，满足m∥n，n∥k，故A，B，C选项都不正确，故D正确． 答案：D 2．[2023年·通州模拟]已知在△ABC中，D是BC的中点，那么下列各式中正确的是(　　) A.＋＝ B.＝＋ C.－＝ D．2＋＝ 解析：A错，应为＋＝2；B错，应为＋＝＋＝；C错，应为＝＋；D正确，2＋＝＋＝，故选D. 答案：D 3．如图，e1，e2为互相垂直的单位向量，向量a－b可表示为(　　) A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：向量a－b是以b的终点为始点，a的终点为终点的向量．由图形知，a－b＝e1－3e2. 答案：C 4．[2023年·江西南昌二中期末]已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则(　　) A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线 解析：∵＝－3a＋3b，＝5a＋3b，∴＝＋＝2a＋6b，又＝a＋3b，∴＝，∴∥，又有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B项． 答案：B 5．[2023年·北京八十中学月考]已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1.若A，B，D三点共线，则mn＝(　　) A. B．2 C．1 D．－3 解析：∵A，B，D三点共线，∴∥，设＝λ，则∴mn＝1.故选C项． 答案：C 二、填空题 6．给出下列命题： ①若a＝b，b＝c，则a＝c； ②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件； ③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是________． 解析：①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c. ②正确．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， 则∥且||＝||，因此，＝. ③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件． ④不正确．考虑b＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. 答案：①② 7．[2023年·广西南宁联考]设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. 解析：∵向量λa＋b与a＋2b平行，∴λa＋b＝μ(a＋2b)(μ∈R)，∴∴λ＝μ＝. 答案： 8．已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若－3＋2＝0.则等于________． 解析：由已知得，－＝2(－)， ∴＝2，∴＝2. 答案：2 三、解答题 9．在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设＝a，＝b，试用a，b表示，. 解析：＝(＋)＝a＋b. ＝＋＝＋＝＋(＋) ＝＋(－) ＝＋ ＝a＋b. 10．设e1，e2是两个不共线向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值． 解析：(1)证明：由已知得＝－ ＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2， 又有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)由(1)可知＝e1－4e2，且＝3e1－ke2， 由B，D，F三点共线得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2， 得，解得k＝12，∴k＝12. [能力挑战] 11．设D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与(　　) A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：由题意得＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 因此＋＋＝＋(＋－) ＝＋＝－， 故＋＋与反向平行． 答案：A 12．[2023年·清华大学自主招生能力测试]O为△ABC内一点，且＋＋2＝0，则△OBC和△ABC的面积比＝________. 解析：如图所示，设AB的中点为M，连接OM，则＋＝2，∴＋＋2＝2＋2＝0，即＋＝0，∴点O为线段MC的中点，则S△OBC＝S△MBC＝S△ABC，所以＝. 答案： 13．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________． 解析：＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|.即·＝0，故⊥，所以△ABC为直角三角形． 答案：直角三角形 5