2023学年高考数学一轮复习课时作业41空间点直线平面之间的位置关系理.doc

课时作业41　空间点、直线、平面之间的位置关系 [基础达标] 一、选择题 1．[2023年·江西七校联考]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　) A．相交或平行 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 解析：依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面． 答案：D 2．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　　) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 解析：b与α相交或b⊂α或b∥α都可以． 答案：D 3. 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是正方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 解析：连接A1C1，AC(图略)，则A1C1∥AC， ∴A1，C1，A，C四点共面，∴A1C⊂平面ACC1A1. ∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1， ∴M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， 同理A，O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上， ∴A，M，O三点共线． 答案：A 4．[2023年·河北张家口模拟]三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析： 取BC的中点O，连接NO，AO，MN，因为B1C1綊BC，OB＝BC，所以OB∥B1C1，OB＝B1C1，因为M，N分别为A1B1，A1C1的中点，所以MN∥B1C1，MN＝B1C1，所以MN綊OB，所以四边形MNOB是平行四边形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其补角即为BM与AN所成角，不妨设AB＝2，则有AO＝，ON＝BM＝，AN＝，在△ANO中，由余弦定理可得cos∠ANO＝＝＝.故选C. 答案：C 5．[2023年·陕西省高三质检]已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点．若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析： 本题考查异面直线所成角，取AC中点为O，连接OM，ON，则易证OM綊BC，ON綊PA，所以∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．由MN＝BC＝4，PA＝4，得OM＝BC＝2，ON＝AP＝2，则cos∠ONM＝＝，所以∠ONM＝30°，即异面直线PA与MN所成角的大小是30°，故选A. 答案：A 二、填空题 6．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是________． ①P∈a，P∈α⇒a⊂α； ②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β； ③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α； ④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b. 解析：当a∩α＝P时，P∈a，P∈α， 但a⊄α，∴①错； a∩β＝P时，②错； 如图∵a∥b，P∈b， ∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α， 又a∥b，由a与b确定唯一平面γ， 但γ经过直线a与点P， ∴γ与α重合，∴b⊂α，故③正确； 两个平面的公共点必在其交线上，故④正确． 答案：③④ 7．如图所示，G，H，M，N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)． 解析：图(1)中，直线GH∥MN； 图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面； 图(3)中，连接MG，HN，GM∥HN，因此GH与MN共面； 图(4)中，G，M，N共面， 但H∉平面GMN，因此GH与MN异面． 所以图(2)，(4)中GH与MN异面． 答案：(2)(4) 8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为________． 解析：如图，连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF， 故∠D1B1C(或其补角)即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°. 答案：60° 三、解答题 9. 如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线． 证明：因为AB∥CD， 所以AB，CD确定一个平面β. 又因为AB∩α＝E，AB⊂β，所以E∈α，E∈β， 即E为平面α与β的一个公共点． 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点， 因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线． 10．[2023年·福建四地六校联考]已知三棱锥A－BCD中，AB＝CD，且直线AB与CD成60°角，点M、N分别是BC、AD的中点，求异面直线AB与MN所成角的大小． 解析：如图，取AC的中点P，连接PM，PN，则PM∥AB，且PM＝AB，PN∥CD，且PN＝CD. ∴∠MPN或其补角为AB与CD所成的角，则∠MPN＝60°或∠MPN＝120°， ∵PM∥AB， ∴∠PMN或其补角是AB与MN所成的角， ∵AB＝CD，∴PM＝PN， 若∠PMN＝60°， 则△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°， ∴AB与MN所成的角为60°. 若∠MPN＝120°， 则∠PMN＝30°，∴AB与MN所成的角为30°， 综上，异面直线AB与MN所成的角为30°或60°. 答案：30°或60° [能力挑战] 11．[2023年·四川成都一诊]在各棱长均相等的直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知M是棱BB1的中点，N是棱AC的中点，则异面直线A1M与BN所成角的正切值为(　　) A. B．1 C. D. 解析：通解　取AA1的中点P，连接PN，PB，则由直三棱柱的性质可知A1M∥PB，则∠PBN为异面直线A1M与BN所成的角(或其补角)．设三棱柱的棱长为2，则PN＝，PB＝，BN＝，所以PN2＋BN2＝PB2，所以∠PNB＝90°，在Rt△PBN中，tan∠PBN＝＝＝，故选C. 优解　 以N为坐标原点，NB，NC所在的直线分别为x轴，y轴，过点N且与平面ABC垂直的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则N(0,0,0)，A1(0，－1,2)，B(，0,0)，M(，0,1)，所以＝(，0,0)，＝(，1，－1)．设直线A1M与BN所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝＝＝，则sin θ＝，tan θ＝，故选C. 答案：C 12．[2023年·安徽联合检测]若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 解析：解法一　如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠A1BD1即异面直线AC1与A1B所成的角． 连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝，A1M＝，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，A1M⊂平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC，所以A1M⊥BM，所以A1B＝，在菱形A1ACC1中，易求得AC1＝2＝BD1，在菱形A1B1D1C1中，易求得A1D1＝2，所以cos∠A1BD1＝＝＝，所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为. 解法二　令M为AC的中点，连接MB，MA1，易得MA，MB，MA1两两垂直．以M为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，)，C1(－2,0，)，所以＝(－3,0，)，＝(0，，－)，所以cos〈，〉＝＝－，故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为. 答案：B 13．[2023年·广东广州质检]如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点．在这个正四面体中： ①GH与EF平行； ②BD与MN为异面直线； ③GH与MN成60°角； ④DE与MN垂直． 以上四个命题中，正确命题的序号是________． 解析： 把正四面体的平面展开图还原，如图所示，由正四面体的性质易知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN. 答案：②③④ 8