2023学年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6讲对数函数高效演练分层突破文新人教A版.doc

第6讲　对数函数 [基础题组练] 1．函数y＝的定义域是(　　) A．[1，2]　　　　　　　　 B．[1，2) C. D. 解析：选C.由即 解得x≥.故选C. 2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　) A．log2x B. C．logx D．2x－2 解析：选A.由题意知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，因为f(2)＝1，所以loga2＝1，所以a＝2.所以f(x)＝log2x.故选A. 3．(2023年·东北三省四市一模)若a＝log2，b＝0.48，c＝ln 2，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 解析：选B.a＝log2<log21＝0，即a<0，b＝0.48<0.4<，又0.48>0，所以0<b<，c＝ln 2＝ln>ln＝，即c>，所以a<b<c.故选B. 4．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　) A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2) C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定 解析：选A.由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)． 5．(2023年·河南平顶山模拟)函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0，a≠1)，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，则(　　) A．f(x)在(－∞，0)上是减函数 B．f(x)在(－∞，－1)上是减函数 C．f(x)在(0，＋∞)上是增函数 D．f(x)在(－∞，－1)上是增函数 解析：选D.由题意，函数f(x)＝loga|x＋1|(a>0且a≠1)，则说明函数f(x)关于直线x＝－1对称，当x∈(－1，0)时，恒有f(x)>0，即|x＋1|∈(0，1)，f(x)>0，则0<a<1.又u＝|x＋1|在(－∞，－1)上是减函数，在(－1，＋∞)上是增函数，结合复合函数的单调性可知，f(x)在(－∞，－1)上是增函数，选D. 6．已知函数y＝loga(x－1)(a>0，a≠1)的图象过定点A，若点A也在函数f(x)＝2x＋b的图象上，则f(log23)＝ ． 解析：由题意得A(2，0)，因此f(2)＝4＋b＝0，b＝－4，从而f(log23)＝3－4＝－1. 答案：－1 7．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为 ． 解析：因为0<a<1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a，所以1＝3loga2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝. 答案： 8．已知函数f(x)＝loga(ax－3)在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是 ． 解析：由于a>0，且a≠1， 所以u＝ax－3为增函数， 所以若函数f(x)为增函数，则f(x)＝logau必为增函数， 所以a>1. 又u＝ax－3在[1，3]上恒为正， 所以a－3>0，即a>3. 答案：(3，＋∞) 9．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，a≠1)． (1)求f(x)的解析式； (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由． 解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)， 所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)． (2)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0， 所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3，3)关于原点对称． 所以f(x)是奇函数． 10．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2. (1)求实数a的值及f(x)的定义域； (2)求f(x)在区间上的最大值． 解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，所以a＝2. 由得－1<x<3， 所以函数f(x)的定义域为(－1，3)． (2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]， 所以当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；当x∈(1，3)时，f(x)是减函数， 故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2. [综合题组练] 1．(2023年·河南新乡二模)已知函数f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，则不等式f(x)＋4x<log32的解集为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，1) 解析：选C.由f(x)＝log3(9x＋1)＋mx是偶函数，得f(－x)＝f(x)，即log3(9－x＋1)＋m(－x)＝log3(9x＋1)＋mx，变形可得m＝－1， 即f(x)＝log3(9x＋1)－x，设g(x)＝f(x)＋4x＝log3(9x＋1)＋3x，易得g(x)在R上为增函数，且g(0)＝log3(90＋1)＝log32，则f(x)＋4x<log32⇒g(x)<g(0)，则有x<0，即不等式的解集为(－∞，0)．故选C. 2．设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a<b<10，则abc的取值范围是 ． 解析：由题意知，在(0，10)上，函数y＝|lg x|的图象和直线y＝c有两个不同交点，所以|lg a|＝|lg b|，又因为y＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，且a<b<10，所以lg a＝－lg b，所以lg a＋lg b＝0，所以ab＝1，0<c<lg 10＝1，所以abc的取值范围是(0，1)． 答案：(0，1) 3．已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0. (1)求函数f(x)的定义域； (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． 解：(1)由x＋－2>0，得>0. 因为x>0，所以x2－2x＋a>0. 当a>1时，定义域为(0，＋∞)； 当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)； 当0<a<1时，定义域为(0，1－)∪(1＋，＋∞)． (2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立， 即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立， 记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max. 而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2. 4