2023学年高考数学一轮复习第六章数列第1讲数列的概念及简单表示法高效演练分层突破文新人教A版.doc

第1讲　数列的概念及简单表示法 [基础题组练] 1．已知数列{an}的通项公式为an＝n2－8n＋15，则(　　) A．3不是数列{an}的项 B．3只是数列{an}的第2项 C．3只是数列{an}的第6项 D．3是数列{an}的第2项和第6项 解析：选D.令an＝3，即n2－8n＋15＝3.整理，得n2－8n＋12＝0，解得n＝2或n＝6.故选D. 2．已知数列{an}满足：任意m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，则a5＝(　　) A. B. C. D． 解析：选A.由题意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，所以a5＝a3·a2＝. 3．在数列{an}中，“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B.“|an＋1|>an”⇔an＋1>an或－an＋1>an，充分性不成立，数列{an}为递增数列⇔|an＋1|≥an＋1>an成立，必要性成立，所以“|an＋1|>an”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B. 4．已知数列{an}满足an＋1＝1－(n∈N*)，且a1＝2，则(　　) A．a3＝－1 B．a2 019＝ C．S3＝3 D．S2 019＝2 019 解析：选A.数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－(n∈N*)，可得a2＝，a3＝－1，a4＝2，a5＝，…所以an－3＝an，数列的周期为3.a2 019＝a672×3＋3＝a3＝－1.S6＝3，S2 019＝. 5．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝(　　) A. B. C. D． 解析：选B.由题意知，Sn＋nan＝2， 当n≥2时，Sn－1＋(n－1)an－1＝2， 所以(n＋1)an＝(n－1)an－1， 从而···…·＝··…·， 则an＝，当n＝1时上式成立， 所以an＝. 6．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝ ． 解析：由已知得，数列可写成，，，…，故通项公式可以为. 答案： 7．若数列{an}满足a1·a2·a3·…·an＝n2＋3n＋2，则数列{an}的通项公式为 ． 解析：a1·a2·a3·…·an＝(n＋1)(n＋2)， 当n＝1时，a1＝6； 当n≥2时， 故当n≥2时，an＝， 所以an＝ 答案：an＝ 8．(2023年·重庆(区县)调研测试)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝(n＋1)an，则an＝ ． 解析：由2Sn＝(n＋1)an知，当n≥2时，2Sn－1＝nan－1，所以2an＝2Sn－2Sn－1＝(n＋1)an－nan－1，所以(n－1)an＝nan－1， 所以当n≥2时，＝，所以＝＝1，所以an＝n. 答案：n 9．已知数列{an}的前n项和为Sn. (1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an； (2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an. 解：(1)因为a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2， 当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝ (－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)， 又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)． (2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6； 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2×3n－1＋2， 由于a1不适合此式，所以an＝ 10．(2023年·衡阳四校联考)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝4an＋3. (1)写出该数列的前4项，并归纳出数列{an}的通项公式； (2)证明：＝4. 解：(1)a1＝3，a2＝15，a3＝63，a4＝255.因为a1＝41－1，a2＝42－1，a3＝43－1，a4＝44－1，…，所以归纳得an＝4n－1. (2)证明：因为an＋1＝4an＋3，所以＝＝＝4. [综合题组练] 1．(2023年·河南焦作第四次模拟)已知数列{an}的通项公式为an＝2n，记数列{anbn}的前n项和为Sn，若＋1＝n，则数列{bn}的通项公式为bn＝ ． 解析：因为＋1＝n，所以Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.所以当n≥2时，Sn－1＝(n－2)2n＋2，两式相减，得anbn＝n·2n，所以bn＝n；当n＝1时，a1b1＝2，所以b1＝1.综上所述，bn＝n，n∈N*.故答案为n. 答案：n 2．(2023年·新疆一诊)数列{an}满足a1＝3，an－anan＋1＝1，An表示{an}的前n项之积，则A2 019＝ ． 解析：由an－anan＋1＝1，得an＋1＝1－， 又a1＝3，则a2＝1－＝，a3＝1－＝1－＝－，a4＝1－＝1－(－2)＝3， 则数列{an}是周期为3的周期数列，且a1a2a3＝3××＝－1，则A2 019＝(a1a2a3)·(a4a5a6)·…·(a2017a2 018a2 019)＝(－1)673＝－1. 答案：－1 3．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)． (1)求a1，a2，a3，a4的值； (2)求数列{an}的通项公式． 解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得a1＝a＋a1，解得a1＝1； S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2； 同理a3＝3，a4＝4. (2)Sn＝a＋an，① 当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，② ①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0. 由于an＋an－1≠0， 所以an－an－1＝1， 又由(1)知a1＝1， 故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n. 4．设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3)，an＋1＝Sn＋3n，n∈N*. (1)设bn＝Sn－3n，求数列{bn}的通项公式； (2)若an＋1≥an，n∈N*，求a的取值范围． 解：(1)依题意得Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n， 即Sn＋1＝2Sn＋3n， 由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，即bn＋1＝2bn， 又b1＝S1－3＝a－3， 因此，所求通项公式为bn＝(a－3)2n－1，n∈N*. (2)由(1)可知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*， 于是，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2， an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2 ＝2n－2， 所以，当n≥2时， an＋1≥an⇒12＋a－3≥0⇒a≥－9， 又a2＝a1＋3＞a1，a≠3. 所以，所求的a的取值范围是[－9，3)∪(3，＋∞)． 5