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2023
黑龙江省
海伦市
第一
中学
最后
一卷
数学试卷
解析
2023学年高考数学模拟测试卷
考生须知:
1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★ ,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为( )
A. B. C. D.
2.已知,,为圆上的动点,,过点作与垂直的直线交直线于点,若点的横坐标为,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为,且,则( )
A.45 B.42 C.25 D.36
4.己知抛物线的焦点为,准线为,点分别在抛物线上,且,直线交于点,,垂足为,若的面积为,则到的距离为( )
A. B. C.8 D.6
5.点为的三条中线的交点,且,,则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知复数满足:(为虚数单位),则( )
A. B. C. D.
7.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,则输出的的值为( )
A. B. C. D.
8.复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9.已知为一条直线,为两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
10.已知将函数(,)的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象,若和的图象都关于对称,则下述四个结论:
①②③④点为函数的一个对称中心
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④
11.已知,若对任意,关于x的不等式(e为自然对数的底数)至少有2个正整数解,则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.设,其中a,b是实数,则( )
A.1 B.2 C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若函数(a>0且a≠1)在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2](1<m<n),则a的取值范围是_______.
14.已知多项式的各项系数之和为32,则展开式中含项的系数为______.
15.将函数的图象向左平移个单位长度,得到一个偶函数图象,则________.
16.已知双曲线的两条渐近线方程为,若顶点到渐近线的距离为1,则双曲线方程为 .
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)已知函数,.
(1)当为何值时,轴为曲线的切线;
(2)用表示、中的最大值,设函数,当时,讨论零点的个数.
18.(12分)已知函数.
(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间;
(2)已知,若,,,求的面积.
19.(12分)某健身馆为响应十九届四中全会提出的“聚焦增强人民体质,健全促进全民健身制度性举措”,提高广大市民对全民健身运动的参与程度,推出了健身促销活动,收费标准如下:健身时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为20元(不足l小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人各自独立地来该健身馆健身,设甲、乙健身时间不超过1小时的概率分别为,,健身时间1小时以上且不超过2小时的概率分别为,,且两人健身时间都不会超过3小时.
(1)设甲、乙两人所付的健身费用之和为随机变量(单位:元),求的分布列与数学期望;
(2)此促销活动推出后,健身馆预计每天约有300人来参与健身活动,以这两人健身费用之和的数学期望为依据,预测此次促销活动后健身馆每天的营业额.
20.(12分)已知等腰梯形中(如图1),,,为线段的中点,、为线段上的点,,现将四边形沿折起(如图2)
(1)求证:平面;
(2)在图2中,若,求直线与平面所成角的正弦值.
21.(12分)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100 人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率.
(1)估计这100人体重数据的平均值和样本方差;(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记为体重在的人数,求的分布列和数学期望;
(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重近似服从正态分布.若,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.
22.(10分)某工厂生产一种产品的标准长度为,只要误差的绝对值不超过就认为合格,工厂质检部抽检了某批次产品1000件,检测其长度,绘制条形统计图如图:
(1)估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望;
(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率,要求从工厂生产的产品中随机抽取2件,假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时,该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求?若不符合此要求,求出符合要求时,生产一件产品为标准长度的概率的最小值.
2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析)
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1、B
【答案解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值,可得选项.
【题目详解】
由()★★ ,得(+2)★★,
又★,所以★,★,★, ,以此类推,2020★2018★2018,
又◆◆,◆,
所以◆,◆,◆, ,以此类推,◆2020,
所以(◆2020)(2020★2018),
故选:B.
【答案点睛】
本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题.
2、A
【答案解析】
由题意得,即可得点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,根据双曲线的性质即可得解.
【题目详解】
如图,连接OP,AM,
由题意得,
点M的轨迹为以A,B为左、右焦点,的双曲线,
.
故选:A.
【答案点睛】
本题考查了双曲线定义的应用,考查了转化化归思想,属于中档题.
3、D
【答案解析】
由等差数列的性质可知,进而代入等差数列的前项和的公式即可.
【题目详解】
由题,.
故选:D
【答案点睛】
本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前项和.
4、D
【答案解析】
作,垂足为,过点N作,垂足为G,设,则,结合图形可得,,从而可求出,进而可求得,,由的面积即可求出,再结合为线段的中点,即可求出到的距离.
【题目详解】
如图所示,
作,垂足为,设,由,得,则,.
过点N作,垂足为G,则,,
所以在中,,,所以,
所以,在中,,所以,
所以,,
所以 .解得,
因为,所以为线段的中点,
所以F到l的距离为.
故选:D
【答案点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质及平面几何的有关知识,属于中档题.
5、B
【答案解析】
可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.
【题目详解】
如图:
点为的三条中线的交点
,
由可得:,
又因,,
.
故选:B
【答案点睛】
本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.
6、A
【答案解析】
利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.
【题目详解】
由,则,
所以.
故选:A
【答案点睛】
本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.
7、C
【答案解析】
根据给定的程序框图,计算前几次的运算规律,得出运算的周期性,确定跳出循环时的n的值,进而求解的值,得到答案.
【题目详解】
由题意,,
第1次循环,,满足判断条件;
第2次循环,,满足判断条件;
第3次循环,,满足判断条件;
可得的值满足以3项为周期的计算规律,
所以当时,跳出循环,此时和时的值对应的相同,即.
故选:C.
【答案点睛】
本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出问题,其中解答中认真审题,得出程序运行时的计算规律是解答的关键,着重考查了推理与计算能力.
8、B
【答案解析】
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.
【题目详解】
解:,
则复数(i是虚数单位)在复平面内对应的点的坐标为:,
位于第二象限.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义,属于基础题.
9、D
【答案解析】
A. 若,则或,故A错误;
B. 若,则或故B错误;
C. 若,则或,或与相交;
D. 若,则,正确.
故选D.
10、B
【答案解析】
首先根据三角函数的平移规则表示出,再根据对称性求出、,即可求出的解析式,从而验证可得;
【题目详解】
解:由题意可得,
又∵和的图象都关于对称,∴,
∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,
∴①③④正确,②错误.
故选:B
【答案点睛】
本题考查三角函数的性质的应用,三角函数的变换规则,属于基础题.
11、B
【答案解析】
构造函数(),求导可得在上单调递增,则 ,问题转化为,即至少有2个正整数解,构造函数,,通过导数研究单调性,由可知,要使得至少有2个正整数解,只需即可,代入可求得结果.
【题目详解】
构造函数(),则(),所以在上单调递增,所以,故问题转化为至少存在两个正整数x,使得成立,设,,则,当时,单调递增;当时,单调递增.,整理得.
故选:B.
【答案点睛】
本题考查导数在判断函数单调性中的应用,考查不等式成立问题中求解参数问题,考查学生分析问题的能力和逻辑推理能力,难度较难.
12、D
【答案解析】
根据复数相等,可得,然后根据复数模的计算,可得结果.
【题目详解】
由题可知:,
即,所以
则
故选:D
【答案点睛】
本题考查复数模的计算,考验计算,属基础题.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13、 (1,)
【答案解析】
在定义域[m,n]上的值域是[m2,n2],等价转化为与的图像在(1,)上恰有两个交点,考虑相切状态可求a的取值范围.
【题目详解】
由题意知:与的图像在(1,)上恰有两个交点
考查临界情形:与切于,
.
故答案为:.
【答案点睛】
本题主要考查导数的几何意义,把已知条件进行等价转化是求解的关键,侧重考查数学抽象的核心素养.
14、
【答案解析】
令可得各项系数和为,得出,根据第一个因式展开式的常数项与第二个因式的展开式含一次项的积与第一个因式展开式含x的一次项与第二个因式常数项的积的和即为展开式中含项,可得解.
【题目详解】
令,
则得,
解得,
所以展开式中含项为:,
故答案为:
【答案点睛】
本题主要考查了二项展开式的系数和,二项展开式特定项,赋值法,属于中档题.
15、
【答案解析】
根据平移后关于轴对称可知关于对称,进而利用特殊值构造方程,从而求得结果.
【题目详解】
向左平移个单位长度后得到偶函数图象,即关于轴对称
关于对称
即:
本题正确结果:
【答案点睛】
本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题,关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴,进而利用特殊值的方式来进行求解.
16、
【答案解析】
由已知,即,取双曲线顶点及渐近线,则顶点到该渐近线的距离为,由题可知,所以,则所求双曲线方程为.
三、解答题:共7