2023届湖北省武汉市达标名校高三二诊模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的部分图像如图所示，若，点的坐标为，若将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．已知正项等比数列的前项和为，且，则公比的值为（　　） A． B．或 C． D． 3．关于函数，有下列三个结论:①是的一个周期；②在上单调递增；③的值域为.则上述结论中，正确的个数为（） A． B． C． D． 4．某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体中最长的棱长为（ ）． A． B． C．1 D． 5．已知为定义在上的奇函数，且满足当时，，则（ ） A． B． C． D． 6．过直线上一点作圆的两条切线，，，为切点，当直线，关于直线对称时，（ ） A． B． C． D． 7．已知实数满足约束条件，则的最小值是 A． B． C．1 D．4 8．已知函数，则的最小值为( ) A． B． C． D． 9．已知是过抛物线焦点的弦，是原点，则（ ） A．－2 B．－4 C．3 D．－3 10．设直线过点，且与圆：相切于点，那么（ ） A． B．3 C． D．1 11．设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C．7 D．2 12．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（　　） A． B． C． D．大小关系不能确定 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_________. 14．设实数满足约束条件,则的最大值为______. 15．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________． 16．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，，则_______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程和的直角坐标方程； （2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围. 18．（12分）已知椭圆：，不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于，两点. （Ⅰ）若线段的中点坐标为，求直线的方程； （Ⅱ）若直线过点，点满足（，分别为直线，的斜率），求的值. 19．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 20．（12分）某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败． 晋级成功 晋级失败 合计 男 16 女 50 合计 （1）求图中的值； （2）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有的把握认为“晋级成功”与性别有关？ （3）将频率视为概率，从本次考试的所有人员中，随机抽取4人进行约谈，记这4人中晋级失败的人数为，求的分布列与数学期望． （参考公式：，其中） 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.780 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 21．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）若函数最小值为，且，求的最小值. 22．（10分）已知数列满足,，数列满足. （Ⅰ）求证数列是等比数列； （Ⅱ）求数列的前项和. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据图象以及题中所给的条件，求出和，即可求得的解析式，再通过平移变换函数图象关于轴对称，求得的最小值. 【题目详解】 由于，函数最高点与最低点的高度差为， 所以函数的半个周期，所以， 又，，则有，可得， 所以， 将函数向右平移个单位后函数图像关于轴对称，即平移后为偶函数， 所以的最小值为1， 故选：B. 【答案点睛】 该题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决该题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变换关系，属于简单题目. 2、C 【答案解析】 由可得，故可求的值. 【题目详解】 因为，所以， 故，因为正项等比数列，故，所以，故选C. 【答案点睛】 一般地，如果为等比数列，为其前项和，则有性质： （1）若，则； （2）公比时，则有，其中为常数且； （3） 为等比数列（ ）且公比为. 3、B 【答案解析】 利用三角函数的性质，逐个判断即可求出． 【题目详解】 ①因为，所以是的一个周期，①正确； ②因为，，所以在上不单调递增，②错误； ③因为，所以是偶函数，又是的一个周期，所以可以只考虑时，的值域．当时，， 在上单调递增，所以，的值域为，③错误； 综上，正确的个数只有一个，故选B． 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的性质应用． 4、B 【答案解析】 首先由三视图还原几何体，进一步求出几何体的棱长． 【题目详解】 解：根据三视图还原几何体如图所示， 所以，该四棱锥体的最长的棱长为． 故选：B． 【答案点睛】 本题主要考查由三视图还原几何体，考查运算能力和推理能力，属于基础题． 5、C 【答案解析】 由题设条件，可得函数的周期是，再结合函数是奇函数的性质将转化为函数值，即可得到结论. 【题目详解】 由题意，，则函数的周期是， 所以，， 又函数为上的奇函数，且当时，， 所以，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的周期性，由题设得函数的周期是解答本题的关键，属于基础题. 6、C 【答案解析】 判断圆心与直线的关系，确定直线，关于直线对称的充要条件是与直线垂直，从而等于到直线的距离，由切线性质求出，得，从而得． 【题目详解】 如图，设圆的圆心为，半径为，点不在直线上，要满足直线，关于直线对称，则必垂直于直线，∴， 设，则，，∴,． 故选：C． 【答案点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，考查直线的对称性，解题关键是由圆的两条切线关于直线对称，得出与直线垂直，从而得就是圆心到直线的距离，这样在直角三角形中可求得角． 7、B 【答案解析】 作出该不等式组表示的平面区域，如下图中阴影部分所示， 设，则，易知当直线经过点时，z取得最小值， 由，解得，所以，所以，故选B． 8、C 【答案解析】 利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【题目详解】 由于 ， 故其最小值为：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 9、D 【答案解析】 设，，设：，联立方程得到，计算 得到答案. 【题目详解】 设，，故. 易知直线斜率不为，设：，联立方程， 得到，故，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中的向量的数量积，设直线为可以简化运算，是解题的关键 . 10、B 【答案解析】 过点的直线与圆：相切于点，可得.因此，即可得出. 【题目详解】 由圆：配方为， ，半径. ∵过点的直线与圆：相切于点， ∴； ∴； 故选：B. 【答案点睛】 本小题主要考查向量数量积的计算，考查圆的方程，属于基础题. 11、B 【答案解析】 根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果． 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题． 12、B 【答案解析】 先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【题目详解】 根据题意，阴影部分的面积的一半为：， 于是此点取自阴影部分的概率为． 又，故． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则，所以切线方程为，即． 【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义 【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当时，函数，则当时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数为偶函数，则当时，函数的解析式为；若为奇函数，则函数的解析式为． 14、 【答案解析】 试题分析：作出不等式组所表示的平面区域如图，当直线过点时，最大，且 考点：线性规划. 15、 【答案解析】 由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【题目详解】 ∵，∴，解得或， 时，满足题意， 时，，方向相反，不合题意，舍去． ∴． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 16、9 【答案解析】 已知由余弦定理即可求得,由可求得,即可求得,利用正弦定理即可求得结果. 【题目详解】 由余弦定理和，可得，得，由，，，由正弦定理，得. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查正余弦定理在解三角形中的应用,难度一般. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1)见解析;(2). 【答案解析】 试题分析：（1）利用平方法消去参数，即可得到的普通方程，两边同乘以利用 即可得的直角坐标方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义以及三角函数的有界性可得结果. 试题解析：（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为 ； （2）设直线的参数方程为（为参数） 又直线与曲线：存在两个交点，因此. 联立直线与曲线：可得则 联立直线与曲线：可得，则 即 18、（Ⅰ）（Ⅱ） 【答案解析】 （Ⅰ）根据点差法，即可求得直线的斜率，则方程即可求得； （Ⅱ）设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，根据，即可求得参数的值. 【题目详解】 （1）设，，则 两式相减，可得.（*） 因为线段的中点坐标为，所以，. 代入（*）式，得. 所以直线的斜率. 所以直线的方程为，即. （Ⅱ）设直线：（），联立 整理得. 所以，解得. 所以，. 所以 ， 所以. 所以. 因为，所以. 【答案点睛】 本题考查中点弦问题的点差法求解，以及利用代数与几何关系求直线方程，涉及韦达定理的应用，属中档题. 19、（1）；（2）证明见解析. 【答案解析】 （1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程； （2）设点，，，由，，结合斜率公式化简得出，，即，满足，由的任意性，得出直线恒过一个定点. 【题目详解】 （1）依题意得，解得 即椭圆：； （2）设点，， 其中， 由，得，