2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版19.docx

一九九九年全国高中数学联合竞赛 第一试 (10月10日上午8:00-9:40) 一．选择题：（每题6分） 1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 ,… ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n ,… 那么数列{bn} ( ) (A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|－1)2+(|y|－1)2<2的整点(x，y)的个数是( ) （A）16 （B）17 （C）18 （D）25 3．假设(log23)x－(log53) x≥ (log23)－y－(log53)－y，那么( ) （A）x－y≥0 （B）x+y≥0 （C）x－y≤0 （D）x+y≤0 4．给定以下两个关于异面直线的命题： 命题1：假设平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a , b中的一条相交。 命题2：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。 那么( ) (A)命题1正确，命题2不正确 (B)命题2正确，命题1不正确 (C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确 5．在某次乒乓球单打比赛中，原方案每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是( ) (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3 6．点A（1，2），过点（5，-2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么△ABC是( ) （A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）答案不确定 一、 填空题：(每题9分) 1、正整数n不超过2022，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是 ． 2、θ=arctan ，那么复数z=的辐角主值是 ． 3、在△ABC中，记BC=a , CA=b , AB=c ,假设9a2+9b2－19c2=0 , 那么= ． 4、点P在双曲线－=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是 ． 5、直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是 ． 6、三棱锥S－ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H－AB－C的平面角等于30°，SA=2，那么三棱锥S—ABC的体积为 ． 三、（此题总分值为20分） 当x ∈[0，1]时，不等式 x2cosθ－x(1－x)+(1－x) 2sinθ>0 恒成立，试求θ的取值范围。 四、（此题总分值20分） 给定A（－2，2），B是椭圆+=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+|BF|取最小值时，求B的坐标。 五、（此题总分值20分） 给定正整数n和正数M，对于满足条件a21+a2n+1≤M的所有等差数列a1，a2，a3，…，试求S=an+1+an+2+…+a2n+1的最大值。 第二试 一、(总分值50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G．求证：∠GAC=∠EAC. 二、(总分值50分)给定实数a，b，c，复数z1，z2，z3满足： 求|az1+bz2+cz3|的值． 三、(总分值50分)给定正整数n，用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。 （1）求k的最小值f(n)； （2）当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。 一九九九年全国高中数学联赛解答 第一试 一．选择题：（每题6分） 1．给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3 , b2=a4+a5+a6 ,… ,bn=a3n-2+a3n-1+a3n ,… 那么数列{bn} ( ) (A)是等差数列 (B)是公比q为的等比数列 (C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列又非等比数列 解：由题设，an=a1qn－1 ，那么===q3． 　　因此，｛bn｝是公比为q3的等比数列．应选C 2．平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式(|x|－1)2+(|y|－1)2<2的整点(x，y)的个数是( ) （A）16 （B）17 （C）18 （D）25 解：由（|x|－1)2+(|y|－1)2<2,可得(|x|－1,|y|－1)为(0，0)，(0，1)，(0，－1)，(1，0)或(－1，0).从而，不难得到(x,y)共有16个．选A 3．假设(log23)x－(log53) x≥ (log23) –y－(log53) －y，那么( ) （A）x－y≥0 （B）x+y≥0 （C）x－y≤0 （D）x+y≤0 解：记f(t)=(log23)t－(log53)t，那么f(t)在R上是严格增函数．原不等式即f(x)≥f(－y)． 　　故x≥－y，即x+y≥0．选B． 4．给定以下两个关于异面直线的命题： 命题1：假设平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a , b中的一条相交。 命题2：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条是异面直线。 那么( ) (A)命题1正确，命题2不正确 (B)命题2正确，命题1不正确 (C)两个命题都正确 (D)两个命题都不正确 解：如图，c与a、b都相交；故命题Ⅰ不正确；又可以取无穷多个平行平面，在每个平面上取一条直线，且使这些直线两两不同向，那么这些直线中的任意两条都是异面直线，从而命题Ⅱ也不正确．选D 5．在某次乒乓球单打比赛中，原方案每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是( ) (A) 0 （B）1 （C）2 （D）3 解：设这三名选手之间的比赛场数是r，共n名选手参赛．由题意，可得50=C+r+(6－2r)，即 (n－3)(n－4) =44+r．由于0≤r≤3，经检验可知，仅当r=1时，n=13为正整数．选B． 6．点A（1，2），过点（5，－2）的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B，C，那么△ABC是( ) （A）锐角三角形 （B）钝角三角形 （C）直角三角形 （D）答案不确定 解：设B(t2,2t),C(s2,2s),s≠t,s≠1,t≠1，那么直线BC的方程为=，化得2x－(s+t)y+2st=0． 　　由于直线BC过点(5，－2)，故 2×5－(s+t)(－2)+2st=0，即 (s+1)(t+1)=－4． 　　因此，kAB·kAC=·==－1．. 　　所以，∠BAC=90°，从而△ABC是直角三角形． 二．填空题：(每题9分) 1、正整数n不超过2022，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的n的个数是 ． 解：首项为a为的连续k个正整数之和为 　　　　　Sk=ka+k(k+1)≥． 　　由Sk≤2022，可得60≤k≤62． 　　当k=60时，Sk=60a+30×59，由Sk≤2022，可得a≤3，故Sk=1830,1890,1950； 　　当k=61时，Sk=61a+30×61，由Sk≤2022，可得a≤2，故Sk=1891，1952； 　　当k=62时，Sk=62a+31×61，由Sk≤2022，可得a≤1，故Sk=1953． 　　于是，题中的n有6个． 2、θ=arctan ，那么复数z=的辐角主值是 ． 解：z的辐角主值 　　　　argz=arg[(12+5i)2(239－i)] 　　　　　　=arg[(119+120i)(239－i)] 　　　　　　=arg(28561+28561i)=． 3、在△ABC中，记BC=a , CA=b , AB=c ,假设9a2+9b2－19c2=0 , 那么= ． 解：== =·==． 4、点P在双曲线－=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是 ． 解：记半实轴、半虚轴、半焦距的长分别为a、b、c，离心率为e，点P到右准线l的距离为d，那么a=4, b=3, c=5, e==, 右准线l为x==． 　　如果P在双曲线右支，那么 　　　　　|PF1|=|PF2|+2a=ed+2a． 　　从而， 　　　　　|PF1|+|PF2|=(ed+2a)+ed=2ed+2a>2d， 　　这不可能；故P在双曲线的左支，那么 　　　　　|PF2|－|PF1|=2a,|PF1|+|PF2|=2d． 　　两式相加得2|PF2|=2a+2d． 　　又|PF2|=ed,从而ed=a+d． 　　故d===16． 　　因此，P的横坐标为－16=－． 5、直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是 ． 解：设倾斜角为θ，那么tanθ=－>0．不妨设a>0，那么b<0． 　　(1)c=0,a有三种取法，b有三种取法，排除2个重复(3x－3y=0,2x－2y=0与x－y=0为同一直线)，故这样的直线有3×3－2=7条； 　　(2)c≠0，那么a有三种取法，b有三种取法，c有四种取法，且其中任两条直线均不相同，故这样的直线有3×3×4=36条． 　　从而，符合要求的直线有7+36=43条． 6、三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H—AB—C的平面角等于30°，SA=2，那么三棱锥S—ABC的体积为 ． 解：由题设，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂线定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．设S在面ABC内射影为O，那么SO⊥面ABC．由三垂线定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O为△ABC的垂心．又因为△ABC是等边三角形，故O为△ABC的中心，从而SA=SB=SC=2． 　　因为CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂线