2023年高三数学回归课本复习材料平面向量基本概念.docx

平面向量根本概念回归课本复习材料 一．考试内容： 　　向量.向量的加法与减法.实数与向量的积.平面向量的坐标表示.线段的定比分点.平面向量的数量积.平面两点间的距离.平移. 二．考试要求： (1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的根本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用.掌握平移公式. 【注意】向量是数学的重要概念之一，它给平面解析几何奠定了必要的根底，同时也为物理学提供了工具，这局部内容与实际结合比拟密切.在高考中的考查主要集中在两个方面：①向量的根本概念和根本运算；②向量作为工具的应用. 三．根底知识: 1.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a 〔交换律〕; (2)〔a〕·b= 〔a·b〕=a·b= a·〔b〕; (3)〔a+b〕·c= a ·c +b·c. 切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法〞不满足结合律， 3.平面向量根本定理 如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．    设a=,b=，且b0， 那么ab(b0). 5.a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ． 6. a·b的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． (1)设a=,b=，那么a+b=. (2)设a=,b=，那么a-b=. (3)设A，B, 那么. (4)设a=，那么a=. (5)设a=,b=，那么a·b=. 公式 (a=,b=). (A，B). = 10.向量的平行与垂直 设a=,b=，且b0， 那么A||bb=λa . ab(a0)a·b=0. 11.线段的定比分公式   设，，是线段的分点,是实数，且，那么 〔〕. 12.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为、、,那么△ABC的重心的坐标是. 13.点的平移公式 注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形上的对应点为，且的坐标为. 14.“按向量平移〞的几个结论 〔1〕点按向量a=平移后得 到点. (2) 函数的图象按向量a=平移后得到图象,那么的函数解析式为 . (3) 图象按向量a=平移后得到图象,假设的解析式,那么的函数解析式为. (4)曲线:按向量a=平移后得到图象,那么的方程为. (5) 向量m=按向量a=平移后得到的向量仍然为m=. 注意：〔1〕函数按向量平移与平常“左加右减〞有何联系？〔2〕向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！ 15. 三角形五“心〞向量形式的充要条件 设为所在平面上一点，角所对边长分别为，那么 〔1〕为的外心. 〔2〕为的重心. 〔3〕为的垂心 . 〔4〕为的内心. 〔5〕为的的旁心 . 四．根本概念 1、向量有关概念： 〔1〕向量的概念 向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？〔向量可以平移〕。 〔2〕零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； 〔3〕单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)； 〔4〕相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； 〔5〕平行向量〔也叫共线向量〕：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。 提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！〔因为有)； ④三点共线共线； 〔6〕相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 2、向量的表示方法： 〔1〕几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后； 〔2〕符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等； 〔3〕坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，那么平面内的任一向量可表示为 ，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3. 实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。 4、平面向量的数量积： 〔1〕两个向量的夹角：对于非零向量，，作，称为向量，的夹角，当＝0时，，同向，当＝时，，反向，当＝时，，垂直。 当为锐角时，＞0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，＜0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件； 〔2〕在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0。 6、向量的运算： 如图，在平面斜坐标系中，，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：假设，其中分别为与x轴、y轴同方向的单位向量，那么P点斜坐标为。 ： 的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段 PP上时>0；当P点在线段 PP的延长线上时<－1；当P点在线段PP的延长线上时；假设点P分有向线段所成的比为，那么点P分有向线段所成的比为。