2023届江苏省上冈高级中学高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知不同直线、与不同平面、，且，，则下列说法中正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知函数，若对于任意的，函数在内都有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 3．双曲线：（，）的一个焦点为（），且双曲线的两条渐近线与圆：均相切，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 4．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则集合子集的个数为（ ） A． B． C． D． 6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线与轴交于点，线段与交于点.若，则的方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．设函数的定义域为，命题：，的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 9．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A． B． C． D．8 10．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ） A． B． C． D． 11．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是( ) A． B． C． D． 12．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是　；若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是___ 14．已知不等式组所表示的平面区域为，则区域的外接圆的面积为______． 15．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法. 16．若变量，满足约束条件则的最大值是______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为. （1）求，的值； （2）证明函数存在唯一的极大值点，且. 18．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布. （Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率； （Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）. 注:若，则，，. 19．（12分）如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形所在平面与圆所在平面垂直，且，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 20．（12分）已知 （1）若 ，且函数 在区间 上单调递增，求实数a的范围； （2）若函数有两个极值点 ，且存在 满足 ，令函数 ，试判断 零点的个数并证明． 21．（12分）某商场以分期付款方式销售某种商品，根据以往资料统计，顾客购买该商品选择分期付款的期数的分布列为： 2 3 4 0.4 其中， （Ⅰ）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率； （Ⅱ）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得利润l00元，若顾客选择分3期付款，则商场获得利润150元，若顾客选择分4期付款，则商场获得利润200元.商场销售两件该商品所获的利润记为（单位：元） （ⅰ）求的分布列； （ⅱ）若，求的数学期望的最大值. 22．（10分）已知，其中． （1）当时，设函数，求函数的极值． （2）若函数在区间上递增，求的取值范围； （3）证明：． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【题目详解】 对于，若，则可能为平行或异面直线，错误； 对于，若，则可能为平行、相交或异面直线，错误； 对于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正确； 对于，若，只有当垂直于的交线时才有，错误. 故选：. 【答案点睛】 本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题. 2、D 【答案解析】 将原题等价转化为方程在内都有两个不同的根，先求导，可判断时，，是增函数； 当时，，是减函数.因此，再令，求导得，结合韦达定理可知，要满足题意，只能是存在零点，使得在有解，通过导数可判断当时，在上是增函数；当时，在上是减函数；则应满足，再结合，构造函数，求导即可求解； 【题目详解】 函数在内都有两个不同的零点， 等价于方程在内都有两个不同的根. ，所以当时，，是增函数； 当时，，是减函数.因此. 设，， 若在无解，则在上是单调函数，不合题意；所以在有解，且易知只能有一个解. 设其解为，当时，在上是增函数； 当时，在上是减函数. 因为，方程在内有两个不同的根， 所以，且.由，即，解得. 由，即，所以. 因为，所以，代入，得. 设，，所以在上是增函数， 而，由可得，得. 由在上是增函数，得. 综上所述， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查由函数零点个数求解参数取值范围问题，构造函数法，导数法研究函数增减性与最值关系，转化与化归能力，属于难题 3、A 【答案解析】 根据题意得到，化简得到，得到答案. 【题目详解】 根据题意知：焦点到渐近线的距离为， 故，故渐近线为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了直线和圆的位置关系，双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力和转化能力. 4、D 【答案解析】 求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解. 【题目详解】 的定义域为，， 当时，，故在单调递减； 不妨设，而，知在单调递减， 从而对任意、，恒有， 即， ，， 令，则，原不等式等价于在单调递减，即， 从而，因为， 所以实数a的取值范围是 故选：D. 【答案点睛】 此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目. 5、B 【答案解析】 首先求出，再根据含有个元素的集合有个子集，计算可得. 【题目详解】 解：，， ， 子集的个数为. 故选：. 【答案点睛】 考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算，集合子集个数的计算公式，属于基础题． 6、D 【答案解析】 由题可得，所以，又，所以，得，故可得椭圆的方程. 【题目详解】 由题可得，所以， 又，所以，得，， 所以椭圆的方程为. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解. 7、C 【答案解析】 先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可. 【题目详解】 先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象， 如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点； 当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点， 则，解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题. 8、D 【答案解析】 根据命题的否定的定义，全称命题的否定是特称命题求解. 【题目详解】 因为：，是全称命题， 所以其否定是特称命题，即，. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查命题的否定，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 9、A 【答案解析】 由三视图还原出原几何体，得出几何体的结构特征，然后计算体积． 【题目详解】 由三视图知原几何体是一个四棱锥，四棱锥底面是边长为2的正方形，高为2， 直观图如图所示，． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查三视图，考查棱锥的体积公式，掌握基本几何体的三视图是解题关键． 10、C 【答案解析】 设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度. 【题目详解】 设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系： 因此有，设平面的法向量为，所以有 ，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力. 11、C 【答案解析】 利用先求出，然后计算出结果. 【题目详解】 根据题意，当时，,, 故当时，, 数列是等比数列, 则，故, 解得, 故选. 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础. 12、D 【答案解析】 根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果. 【题目详解】 由已知可知，点为中点，为中点， 故可得，故可得； 代入椭圆方程可得，解得，不妨取， 故可得点的坐标为， 则，易知点坐标， 将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用绝对值的几何意义，确定出的最小值，然后根据题意即可得到的取值范围 化简不等式，求出 的最大值，然后求出结果 【题目详解】 的最小值为，则要使不等式的解集不是空集，则有 化简不等式有 ， 即 而 当时满足题意，解得或 所以答案为 【答案点睛】 本题主要考查的是函数恒成立的问题和绝对值不等式，要注意到绝对值的几何意义，数形结合来解答本题，注意去绝对值时的分类讨论化简 14、 【答案解析】 先作可行域，根据解三角形得外接圆半径，最后根据圆面积公式得结果. 【题目详解】 由题意作出区域，如图中阴影部