2023届黑龙江省大庆大庆二中、二十三中、二十八中、十中高三第一次调研测试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，a5＝16，a3a4＝﹣32，则S8＝（ ） A．﹣21 B．﹣24 C．85 D．﹣85 3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A．24 B．36 C．48 D．64 4．已知，则（ ） A． B． C． D． 5．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的( ) A．9 B．31 C．15 D．63 6．已知集合，则全集则下列结论正确的是( ) A． B． C． D． 7．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 8．等比数列中，，则与的等比中项是（ ） A．±4 B．4 C． D． 9．已知、分别为双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线交于、两点，为坐标原点，若，，则的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 10．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（ ） A． B． C． D． 11．已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ） A． B． C． D．1 12．在中，，，，为的外心，若，，，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设函数在区间上的值域是，则的取值范围是__________. 14．如图，直线是曲线在处的切线，则________. 15．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式各项系数和为__________． 16．已知向量满足，且，则 _________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知抛物线:，点为抛物线的焦点，焦点到直线的距离为，焦点到抛物线的准线的距离为，且. （1）求抛物线的标准方程； （2）若轴上存在点，过点的直线与抛物线相交于、两点，且为定值，求点的坐标. 18．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，. （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）若锐二面角的余弦值为，求直线与平面所成的角. 19．（12分）已知，，且. （1）求的最小值； （2）证明：. 20．（12分）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点在线段上，且平面． （1）求证：； （2）求平面与平面所成二面角的正弦值． 21．（12分）第十三届全国人大常委会第十一次会议审议的《固体废物污染环境防治法（修订草案）》中，提出推行生活垃圾分类制度，这是生活垃圾分类首次被纳入国家立法中．为了解某城市居民的垃圾分类意识与政府相关法规宣传普及的关系，对某试点社区抽取户居民进行调查，得到如下的列联表． 分类意识强 分类意识弱 合计 试点后 试点前 合计 已知在抽取的户居民中随机抽取户，抽到分类意识强的概率为． （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为居民分类意识的强弱与政府宣传普及工作有关？说明你的理由； （2）已知在试点前分类意识强的户居民中，有户自觉垃圾分类在年以上，现在从试点前分类意识强的户居民中，随机选出户进行自觉垃圾分类年限的调查，记选出自觉垃圾分类年限在年以上的户数为，求分布列及数学期望． 参考公式：，其中． 下面的临界值表仅供参考 22．（10分）已知点、分别在轴、轴上运动，，． （1）求点的轨迹的方程； （2）过点且斜率存在的直线与曲线交于、两点，，求的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像. 【题目详解】 函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值， 当时，；当时，；当时，. 时，，时，， 当或时，；当时，. 故选： 【答案点睛】 根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 2、D 【答案解析】 由等比数列的性质求得a1q4＝16，a12q5＝﹣32，通过解该方程求得它们的值，求首项和公比，根据等比数列的前n项和公式解答即可. 【题目详解】 设等比数列{an}的公比为q， ∵a5＝16，a3a4＝﹣32， ∴a1q4＝16，a12q5＝﹣32， ∴q＝﹣2，则， 则， 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查等比数列的前n项和，根据等比数列建立条件关系求出公比是解决本题的关键，属于基础题. 3、B 【答案解析】 根据题意，有两种分配方案，一是，二是，然后各自全排列，再求和. 【题目详解】 当按照进行分配时，则有种不同的方案； 当按照进行分配，则有种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4、C 【答案解析】 利用诱导公式得，，再利用倍角公式，即可得答案. 【题目详解】 由可得，∴， ∴. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查诱导公式、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意三角函数的符号. 5、B 【答案解析】 根据程序框图中的循环结构的运算，直至满足条件退出循环体，即可得出结果. 【题目详解】 执行程序框；；； ；；， 满足，退出循环，因此输出， 故选:B. 【答案点睛】 本题考查循环结构输出结果，模拟程序运行是解题的关键，属于基础题. 6、D 【答案解析】 化简集合，根据对数函数的性质，化简集合，按照集合交集、并集、补集定义，逐项判断，即可求出结论. 【题目详解】 由， 则，故， 由知，，因此， ，， ， 故选:D 【答案点睛】 本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题. 7、C 【答案解析】 设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论． 【题目详解】 设分别是的中点 平面 是等边三角形 又 平面 为与平面所成的角 是边长为的等边三角形 ，且为所在截面圆的圆心 球的表面积为 球的半径 平面 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题． 8、A 【答案解析】 利用等比数列的性质可得 ，即可得出． 【题目详解】 设与的等比中项是． 由等比数列的性质可得， ． ∴与的等比中项 故选A． 【答案点睛】 本题考查了等比中项的求法，属于基础题． 9、D 【答案解析】 作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值 【题目详解】 解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB， 设F1A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝2a， 所以x＝2a，则EF2＝2a， 由勾股定理可得（4a）2+（2a）2＝（2c）2， 所以c2＝7a2， 则e 故选：D． 【答案点睛】 本题考查双曲线定义的应用，考查离心率的求法，数形结合思想，属于中档题．对于圆锥曲线中求离心率的问题，关键是列出含有 中两个量的方程，有时还要结合椭圆、双曲线的定义对方程进行整理，从而求出离心率. 10、B 【答案解析】 先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案. 【题目详解】 ，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易. 11、B 【答案解析】 根据题意,建立平面直角坐标系.令.为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为的最大值. 【题目详解】 根据题意,设, 则 由代入可得 即点的轨迹方程为 又因为,变形可得,即,且 所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示: 所以的最小值即为到直线的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大值 设切线的方程为,化简可得 由切线性质及点到直线距离公式可得,化简可得 即 所以切线方程为或 所以当变化时, 到直线的最大值为 即的最大值为 故选:B 【答案点睛】 本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 12、B 【答案解析】 首先根据题中条件和三角形中几何关系求出，，即可求出的值. 【题目详解】 如图所示过做三角形三边的垂线，垂足分别为，，， 过分别做，的平行线，， 由题知， 则外接圆半径， 因为，所以， 又因为，所以，， 由题可知， 所以，， 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题主要考查了三角形外心的性质，正弦定理，平面向量分解定理，属于一般题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、. 【答案解析】 配方求出顶点，作出图像，求出对应的自变量，结合函数图像，即可求解. 【题目详解】 ，顶点为 因为函数的值域是， 令，可得或. 又因为函数图象的对称轴为， 且，所以的取值范围为. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查函数值域，考查数形结合思想，属于基础题. 14、. 【答案解析】 求出切线的斜率，即可求出结论. 【题目详解】 由图可知直线过点， 可求出直线的斜率， 由导数的几何意义可知，. 故答案为:. 【答案点睛】 本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题. 15、1 【答案解析】 由题意得展开式的二项式系数之和求出的值，然后再计算展开式各项系数的和. 【题目详解】 由题意展开式的二项式系数之和为，即，故，令，则展开式各项系数的和为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了二项展开式的二项式系数和项的系数和问题，需要运用定义加以区分，并能够运用公式和赋值法求解结果，需要掌握解题方法. 16、 【答案解析】 由数量积的运算律求得，再由数量积的定义可得结论．