k-结构空间的性质及其应用_黄书棋.pdf

第 51 卷 第 1 期2023 年 2 月福州大学学报(自然科学版)Journal of Fuzhou University(Natural Science Edition)Vol 51 No 1Feb 2023DOI:107631/issn1000224321488文章编号:10002243(2023)01000904k结构空间的性质及其应用黄书棋，王天浩，梁海兰(福州大学数学与统计学院，福建 福州350108)摘要:定义并探讨 k结构空间范畴的概念和基础性质，证明完全正则拓扑空间范畴和仿射代数簇范畴均可视为 k 结构空间范畴的子范畴 同时，讨论 k结构子空间与 k结构商空间的构造，并证明这两种构造分别对应于 k结构空间范畴的等值子和余等值子 最后，刻画了 k结构空间的 Zariski 拓扑的不可约性，并给出子空间覆盖定理的一个新视角下的有趣证明关键词:k结构空间;k态射;Zariski 拓扑;子空间覆盖定理中图分类号:O143文献标识码:AProperties and applications of kstructured spacesHUANG Shuqi，WANG Tianhao，LIANG Hailan(College of Mathematics and Statistics，Fuzhou University，Fuzhou，Fujian 350108，China)Abstract:In this paper，we define and discuss the concept and basic properties of categories ofkstructured spaces，and prove that the category of completely regular topological spaces and catego-ries of affine algebraic varieties can be regarded as subcategories of some categories of kstructuredspaces Moreover，this paper also discusses the construction of kstructure subspace and kstructurequotient space，and proves that these two constructions correspond to the equalizer and co-equalizer ofcategories of k structure spaces respectively Finally，we characterize the irreducibility of Zariskitopologies in kstructured spaces，and give an interesting proof of the subspace covering theorem froma new viewKeywords:kstructured space;kmorphism;Zariski topology;subspace covering theorem0预备知识任意给定两个紧 T2拓扑空间 X，Y，用 C(X)，C(Y)分别表示这两个拓扑空间的实值连续函数代数，则X 与Y同胚当且仅当C(X)与C(Y)代数同构(或环同构)1 这意味着当一个拓扑空间为紧T2拓扑空间时，该拓扑结构能由其上的实值连续函数代数唯一确定 类似地，若任意给定两个紧光滑流形 M，N，令C(M)，C(N)分别表示这两个流形的实值光滑函数代数，则 M 与 N 微分同胚当且仅当 C(M)与C(N)同构;若给定两个仿射代数簇X，Y，令K(X)，K(Y)分别表示这两个代数簇的坐标环，则X与Y代数簇同构当且仅当 K(X)与 K(Y)同构2 以上几个经典结论都体现了以下重要的事实和共性:在研究许多重要的空间类的时候，若想同构地去分类这些空间，往往可以等价地归结为去分类其上的某种保持空间结构的函数代数的结构 鉴于此，将给出“k 结构空间”和“k 结构空间范畴”的概念，直接从函数代数的角度去定义空间结构，详细讨论其基础理论框架，从更一般的角度去解读以上的共性，并给出若干有趣的应用 首先，为了讨论方便，回顾一下以下几个基础定义定义 1设 C 为范畴，A，B ob(C)，f，g MorC(A，B)，称态射 e:EA 为态射对(f，g)的等值子，若其满足:1)f e=g e;收稿日期:20211105通信作者:梁海兰(1987)，讲师，主要从事拓扑动力系统方面研究，lghlan 163com基金项目:福建省自然科学基金资助项目(2019J05033);福建省中青年教师教育科研资助项目(JAT190022)福州大学学报(自然科学版)第 51 卷http:/xbzrbfzueducn2)对任意的态射 e:EA 满足 f e=g e，存在唯一的态射 h:EE，使得 e=e h3 定义 2称态射 c:BC 为态射对(f，g)的余等值子，若其满足:1)c f=c g;2)对任意的态射 c:BC 满足 c f=c g，存在唯一的态射 r:CC，使得 c=r c3 定义 3设 X 为拓扑空间，称 X 为完全正则空间，若对 X 中任一 x 与其邻域 U，存在连续映射 f:X 0，1，满足 f(x)=0 与 f(Uc)=14 定义 4称(X，)为不可约空间，若 X 不能表为两个真闭子集的并5 性质 1一个空间是不可约的，等价于其不能表为有限个真闭子集的并定义 5令 k 为域，X 为集合，A 为 kX的一个含幺子代数，则称(X，A)为一个 k 结构空间 为方便起见，在 A 显然确定时，将(X，A)简记为 X定义 6已知(X，A)，(Y，B)为 k 结构空间，称一个从 X 到 Y 的映射 f 为一个 k 态射，若满足任取 B 有:f A性质 2恒等映射为 k 态射性质 3若 f 为一个从 X 到 Y 的 k 态射，g 为一个从 Y 到 Z 的 k 态射，则 g f 为从 X 到 Z 的 k 态射以上两性质是显然的，表明全体 k 结构空间及其之间的 k 态射构成一个范畴，称为 k 结构空间范畴 在下一节中，将会详细探讨 k 结构空间范畴的基本性质和一些例子，并讨论其子结构和商结构的相关泛性质1k结构空间的性质定义 7若(X，A)为一个 k 结构空间，对 A，定义 Z()=x X:f(x)=0，f 注:Z()即为 的零点集 为方便起见，将 Z(f)简记为 Z(f)性质 4令(X，A)，Z()定义如上，则 Z():A满足闭集三公理:1)Z(1)=，Z(0)=X;2)Z()=Z();3)Z(1)Z(2)=Z(12)，这里，12=fg:f 1，g 2 由以上性质可知，XZ():A 构成一个拓扑，称其为X的关于A的Zariski拓扑6，记为A，下记 U=XZ()，其中 A，则(X，A)以 U:A为拓扑基 定义 8若 X 为拓扑空间，A 为 kX的一个含幺子代数，称 X 具有 A 完全正则性，若任取 x X，及任取一个不含 x 的闭集 F，都存在 A，使得(x)=a，(F)=b，其中:a b若在以上定义中，令 a=1，b=0，则此时定义出的 A 完全正则性与上述定义等价性质 5若(X，A)为一个 k 结构空间，则(X，A)为 A 完全正则空间证明任取 x X，及不含 x 的闭集 F，则存在 A，使得 F=Z()，故存在 f 使得 f(x)0，但 f(F)=0，即证若 X 为拓扑空间，Cb(X)表示有界连续实值函数代数，则 X 为 Cb(X)完全正则 X 为完全正则性质 6若(X，)为完全正则空间，则 X 的拓扑与 Cb(X)Zariski 拓扑一致，即 =Cb(X)证明先证 Cb(X)，任取 Cb(X)，Z()闭于 Cb(X)，则由 f 连续，得 Z(f)闭，故Z()=fZ(f)闭于 再证:Cb(X)，任取 U ，任取 x U，由 X 完全正则知，存在 f，使得 f(Uc)=0 且 f(x)=1，则x Z(f)c U，其中 Z(f)c开于 Cb(X)，故 U 开于 Cb(X)即证性质 7若 f:(X，A)(Y，B)为态射，则 f:(X，A)(Y，B)连续证明任取 B，由 f 为态射，有 f A，故 f1(U)=U f A由以上性质，则得以下函子:01第 1 期黄书棋，等:k结构空间的性质及其应用http:/xbzrbfzueducnk 结构空间范畴拓扑空间范畴(X，A)|(X，A)(X，A)f(Y，B)|(X，A)f(Y，B)性质 8若(X，A)为 k 结构空间，则有 A 为整环(X，A)不可约证明首先:设 U 0，U 0，其中，A，则 0，0，由 A 为整环，则 0，U 0其次:若 A 不是整环，则存在，A，满足，0，且=0 此时，U U=U=，而U，U 这与(X，A)不可约矛盾，即证推论 1设 A 为 kX的一个含幺子代数，(X，A)为一个 k 结构空间，若 A 为整环，1，2，n A，且 X Z(i)(i=1，2，n)，则 X ni=1Z(i)定理 1在完全正则空间范畴为拓扑空间范畴的满子范畴情况下，考虑以下两函子:完全正则空间范畴 结构空间范畴(X，)(X，Cb(X)结构空间范畴拓扑空间范畴(X，A)|(X，A)则 =I(恒等函子)注:以上定理表示把完全正则空间看成 结构空间，在范畴意义上没有损失任何信息定义 9设 A 为 kX的一个含幺子代数，(X，A)为一个 k 结构空间，Y X，定义 AY=Y:A，则(Y，AY)为一个 k 结构空间，称为 A 的 k 结构子空间性质 9k 结构空间范畴中，含入映射 i:YX 为等值子证明显然含入映射 i:YX 为态射首先证明等值性 在结构空间范畴中，对 i:YX，做两个映射 f，g:(X，A)(p，q，k?)，满足:f(Y)=p，f(Yc)=q，其中，k?=K:为常值映射为 k p，q的一个子代数 则显然 f，g 为态射，且满足 f i=g i下证泛性质 任取 Z(B)及映射 h:Z(B)(X，A)，使得满足:f h=g h 则对集合范畴来说，存在唯一映射:Z(B)(Y，AY)使得 i =h，故只需要证明 为态射即可 任取 AY，存在?A 使得?Y=，而?Y=?i=，故得 B，即证性质 10令 i:(Y，AY)(X，A)为含入映射，则 i:(Y，AY)(X，A)为同胚嵌入证明只需证明 AY=AY首先，由函子性质可得 i 连续，故 AY AY其次，只需证明任取 AY，Z()都闭于 AY 由 AY，存在?A，使得?Y=，则 Z(?)Y=Z()，即证推论 2函子:结构空间范畴拓扑空间范畴保持等值子定义 10称(X，A)(Y，B)为同构嵌入，若存在(Y，B)的 k 结构子空间与(X，A)同构推论 3若 f:(X，A)(Y，B)为同构嵌入，则 f:(X，A)(Y，B)为同胚嵌入推论 4同构嵌入是等值子定义 11称(X，A)(Y，B)为商映射，若 B=kY:f A，此时商映射为态射性质 11商映射为余等值子证明设 f:(X，A)(Y，B)为商映射，考虑两个映射 P1，P2:f(X，A)，其中:f为由 f 导出的等价关系，P1，P2分别为向第一个，第二个分量的投影映射 则显然有:f P1=f P2下证泛性质任取(Z，C)及g:(X，A)(Z，C)满足g P1=g P2，则存在唯一映射h:(Y，B)(Z，C)使得 g=h f 接着证 h 为态射即可 任取 C，要证 h B，由 f 为商映射，只需证明 h f 11福州大学学报(自然科学版)第 51 卷http:/xbzrbfzueducnA，而 h f=g，由 g 为态射，且 C，得 g A，即证2子空间有限覆盖定理的拓扑证明考虑映射 F x1，x2，xnF?x1，x2，xn将 f|f?，使得若:f=k1，k2，knak1，k2，knxk11xknn，则任取(b