2023年全国高中数学联赛试题及解析苏教版32.docx

2022年全国高中数学联赛试卷 第一试 一．选择题(此题总分值36分，每题6分) 1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cosq=0有重根，那么q的弧度数为 ( ) A． B．或 C．或 D． 2．M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．假设对于所有的m∈R，均有M∩N¹Æ，那么b的取值范围是 ( ) A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，] 3．不等式+logx3+2>0的解集为 A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] 4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，那么DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A．2 B． C．3 D． 5．设三位数n=，假设以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，那么这样的三位数n有( ) A．45个 B．81个 C．165个 D．216个 6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，那么当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A． B． C． D． 二．填空题(此题总分值54分，每题9分) 7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ； 8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，那么f(x)= ； 9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ； 10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，那么k= ； 11．数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，那么的值是 ； 12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ； 三．解答题(此题总分值60分，每题20分) 13．一项“过关游戏〞规那么规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，那么算过关．问： ⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？ 14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项． ⑴ 求点P的轨迹方程； ⑵ 假设直线L经过DABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围． 15．a，b是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[a，b]． ⑴ 求g(t)=maxf(x)－minf(x)； ⑵ 证明：对于ui∈(0，)(i=1，2，3)，假设sinu1+sinu2+sinu3=1，那么++<． 二试题 一．(此题总分值50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长． 二．(此题总分值50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{An}与曲线y=(x≥0)上的点列{Bn}满足|OAn|=|OBn|=，直线AnBn在x轴上的截距为an，点Bn的横坐标为bn，n∈Nx． ⑴ 证明an>an+1>4，n∈Nx； ⑵ 证明有n0∈Nx，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2022． 三．(此题总分值50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素． 2022年全国高中数学联赛试卷 第一试 一．选择题(此题总分值36分，每题6分) 1．设锐角q使关于x的方程x2+4xcosq+cotq=0有重根，那么q的弧度数为 ( ) A． B．或 C．或 D． 解：由方程有重根，故D=4cos2q－cotq=0， ∵ 0<q<，Þ2sin2q=1，Þq=或．选B． 2．M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．假设对于所有的m∈R，均有M∩N¹Æ，那么b的取值范围是 ( ) A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，] 解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，Þ2b2≤3，Þb∈[－，]．选A． 3．不等式+logx3+2>0的解集为 A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4] 解：令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，Þx∈[2，4)，选C． 4．设点O在DABC的内部，且有+2+3=，那么DABC的面积与DAOC的面积的比为( ) A．2 B． C．3 D． 解：如图，设DAOC=S，那么DOC1D=3S，DOB1D=DOB1C1=3S，DAOB=DOBD=S．DOBC=S，ÞDABC=3S．选C． 5．设三位数n=，假设以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，那么这样的三位数n有( ) A．45个 B．81个 C．165个 D．216个 解：⑴等边三角形共9个； ⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数 即可取156+9=165种数．选C． 6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，那么当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( ) A． B． C． D． 解：AB⊥OB，ÞPB⊥AB，ÞAB⊥面POB，Þ面PAB⊥面POB． OH⊥PB，ÞOH⊥面PAB，ÞOH⊥HC，OH⊥PC， 又，PC⊥OC，ÞPC⊥面OCH．ÞPC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2． 而DOCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)． 当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30°，OB=POtan30°=． 又解：连线如图，由C为PA中点，故VO－PBC=VB－AOP， 而VO－PHC∶VO－PBC==(PO2=PH·PB)． 记PO=OA=2=R，∠AOB=a，那么 VP—AOB=R3sinacosa=R3sin2a，VB－PCO=R3sin2a． ===．ÞVO－PHC=´R3． ∴ 令y=，y¢==0，得cos2a=－，Þcosa=， ∴ OB=，选D． 二．填空题(此题总分值54分，每题9分) 7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)= 的图像所围成的封闭图形的面积是 ； 解：f(x)= sin(ax+j)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填． 又解：∫[1－sin(ax+j)]dx=∫(1－sint)dt=． 8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，那么f(x)= ； 解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，Þf(1)=2． 令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．① 又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．② 比较①、②得，f(x)=x+1． 9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是 ； 解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，那么BN·BD1=AB2，ÞBN=D1M=NM=． ÞA1M=AN=． ∴ AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NAcosq，Þ12=++－2´cosq，Þcosq=． Þq=60°． 10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，那么k= ； 解：设=n，那么(k－)2－n2=，Þ(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，Þk=(p+1)2． 11．数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，那么的值是 ； 解：=+，Þ令bn=+，得b0=，bn=2bn－1，Þbn=´2n．即=，Þ=(2n+2－n－3)． 12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为 ； 解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否那么⊙MNP与x轴交于PQ，那么线段PQ上的点P¢使∠MP¢N更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，ÞKP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP的半径小，从而点P的横坐标=1． 三．解答题(此题总分值60分，每题20分) 13．一项“过关游戏〞规那么规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所