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2023
年高
考试题
全国卷
解析
2023年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅱ)
数学
本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部 第一卷1至2页,第二卷3至4页。考试结束后,将本试卷降答题卡一同交回,总分值150分,考试用时120分钟
本卷须知:
1. 答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上填写清楚,并认真找准条形码上的准考证号,姓名、考、谁座位号填写在规定的位置贴好条形码。
2. 每题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷的答案无效。
第一卷 (选择题 共50分)
选择题:本大题共10小题,每题5分,共50分。在,每题给出的四个选项中,
参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 球的外表积公式
P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR2
如果事件A、B相互独立,那么
P(A-B)=P(A)-P(B)
一、 选择题
(A) (B) (C) (D)
【解析】 C :此题考查了集合的根本运算. 属于根底知识、根本运算的考查.
∵ A={1,3}。B={3,5},∴ ,∴应选 C .
(2)不等式<0的解集为
(A) (B) (C) (D)
【解析】A :此题考查了不等式的解法
∵ ,∴ ,应选A
(3),那么
(A)(B)(C)(D)
【解析】B:此题考查了二倍角公式及诱导公式,∵ SINA=2/3,
∴
(4)函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是
(A)y=-1(x>0) (B) y=+1(x>0)
(C) y=-1(x R) (D)y=+1 (x R)
【解析】D:此题考查了函数的反函数及指数对数的互化,∵函数Y=1+LN(X-1)(X>1),∴
(5)假设变量x,y满足约束条件 那么z=2x+y的最大值为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【解析】C:此题考查了线性规划的知识。
∵ 作出可行域,作出目标函数线,可得直线与 与的交点为最优解点,∴即为(1,1),当时
(6)如果等差数列中,++=12,那么++•••…+=
(A)14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
【解析】C:此题考查了数列的根底知识。
∵ ,∴
(7)假设曲线在点处的切线方程是,那么
(A) (B)
(C) (D)
【解析】A:此题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵ ,∴ ,在切线,∴
(8)三棱锥中,底面为边长等于2的等边三角形,垂直于底面,=3,那么直线与平面所成角的正弦值为
(A) (B)
(C) (D)
【解析】D:此题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。
A
B
C
S
E
F
过A作AE垂直于BC交BC于E,连结SE,过A作AF垂直于SE交SE于F,连BF,∵正三角形ABC,∴ E为BC中点,∵ BC⊥AE,SA⊥BC,∴ BC⊥面SAE,∴ BC⊥AF,AF⊥SE,∴ AF⊥面SBC,∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角,由正三角形边长3,∴ ,AS=3,∴ SE=,AF=,∴
(9)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中,假设每个信封放2张,其中标号为1,2的卡片放入同一信封,那么不同的方法共有
(A) 12种 (B) 18种 (C) 36种 (D) 54种
【解析】B:此题考查了排列组合的知识
∵先从3个信封中选一个放1,2有3种不同的选法,再从剩下的4个数中选两个放一个信封有,余下放入最后一个信封,∴共有
(10)△ABC中,点D在边AB上,CD平分∠ACB,假设= a , = b , = 1 ,
= 2, 那么=
(A)a + b (B)a +b (C)a +b (D)a +b
【解析】B:此题考查了平面向量的根底知识
∵ CD为角平分线,∴ ,∵ ,∴ ,∴
(11)与正方体ABCD—A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点
(A)有且只有1个 (B)有且只有2个
(C)有且只有3个 (D)有无数个
【解析】D:此题考查了空间想象能力
∵到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴,以正方体边长为半径的圆柱面上,∴三个圆柱面有无数个交点,
(12)椭圆C:(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线于C相交于A、B两点,假设。那么k =
(A)1 (B) (C) (D)2
【解析】B:,∵ ,∴ , ∵ ,设,,∴ ,直线AB方程为。代入消去,∴ ,∴ ,
,解得,
(13)α是第二象限的角,tanα=1/2,那么cosα=__________
【解析】 :此题考查了同角三角函数的根底知识
∵,∴
(14)(x+1/x)9的展开式中,x3的系数是_________
【解析】84:此题考查了二项展开式定理的根底知识
∵ ,∴ ,∴
(15)抛物线C:y2=2px(p>0)的准线l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于A,与C的一个交点为B,假设,那么p=_________
【解析】2:此题考查了抛物线的几何性质
设直线AB:,代入得,又∵ ,∴ ,解得,解得(舍去)
(16)球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,,假设,那么两圆圆心的距离 。
【解析】3:此题考查球、直线与圆的根底知识
O
M
N
E
A
B
∵ ON=3,球半径为4,∴小圆N的半径为,∵小圆N中弦长AB=4,作NE垂直于AB,∴ NE=,同理可得,在直角三角形ONE中,∵ NE=,ON=3,∴ ,∴ ,∴ MN=3
三、解答题;本大题共6小题,共70分。解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17)(本小题总分值10分)
中,为边上的一点,,,,求。
【解析】此题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的根底知识。
由与的差求出,根据同角关系及差角公式求出的正弦,在三角形ABD中,由正弦定理可求得AD。
(18)(本小题总分值12分)
是各项均为正数的等比数列,且
,
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)设,求数列的前项和。
【解析】此题考查了数列通项、前项和及方程与方程组的根底知识。
(1)设出公比根据条件列出关于与的方程求得与,可求得数列的通项公式。
(2)由(1)中求得数列通项公式,可求出BN的通项公式,由其通项公式化可知其和可分成两个等比数列分别求和即可求得。
(19)(本小题总分值12分)
如图,直三棱柱ABC-ABC 中,AC=BC, AA=AB,D为BB的中点,E为AB上的一点,AE=3 EB
(Ⅰ)证明:DE为异面直线AB与CD的公垂线;
(Ⅱ)设异面直线AB与CD的夹角为45°,求二面角A-AC-B的大小
【解析】此题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的根底知识。
(1)要证明DE为AB1与CD的公垂线,即证明DE与它们都垂直,由AE=3EB1,有DE与BA1平行,由A1ABB1为正方形,可证得,证明CD与DE垂直,取AB中点F。连结DF、FC,证明DE与平面CFD垂直即可证明DE与CD垂直。
(2)由条件将异面直线AB1,CD所成角找出即为FDC,设出AB连长,求出所有能求出的边长,再作出二面角的平面角,根据所求的边长可通过解三角形求得。
(20)(本小题总分值12分)
如图,由M到N的电路中有4个元件,分别标为T,T,T,T,电源能通过T,T,T的概率都是P,电源能通过T的概率是0.9,电源能否通过各元件相互独立。T,T,T中至少有一个能通过电流的概率为0.999。
(Ⅰ)求P;
(Ⅱ)求电流能在M与N之间通过的概率。
【解析】此题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率,
(1)设出根本领件,将要求事件用根本领件的来表示,将T1,T2,T3至少有一个能通过电流用根本领件表示并求出概率即可求得P。
(2)将MN之间能通过电流用根本领件表示出来,由互斥事件与独立事件的概率求得。
(21)(本小题总分值12分)
函数f(x)=x-3ax+3x+1。
(Ⅰ)设a=2,求f(x)的单调期间;
(Ⅱ)设f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点,求a的取值范围。
【解析】此题考查了导数在函数性质中的应用,主要考查了用导数研究函数的单调区间、极值及函数与方程的知识。
(1)求出函数的导数,由导数大于0,可求得增区间,由导数小于0,可求得减区间。
(2)求出函数的导数,在(2,3)内有极值,即为在(2,3)内有一个零点,即可根据,即可求出A的取值范围。
(22)(本小题总分值12分)
斜率为1的直线1与双曲线C:相交于B、D两点,且BD的中点为M(1.3)
(Ⅰ)(Ⅰ)求C的离心率;
(Ⅱ)(Ⅱ)设C的右顶点为A,右焦点为F,|DF|·|BF|=17证明:过A、B、D三点的圆与x轴相切。
【解析】此题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识,考查学生运用所学知识解决问题的能力。
(1)由直线过点(1,3)及斜率可得直线方程,直线与双曲线交于BD两点的中点为(1,3),可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出A,B的关系式即求得离心率。
(2)利用离心率将条件|FA||FB|=17,用含A的代数式表示,即可求得A,那么A点坐标可得(1,0),由于A在X轴上所以,只要证明2AM=BD即证得。