2023届湖南省长沙县实验中学高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设实数满足条件则的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（ ） A． B． C． D． 3．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到、、三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到县的分法有（ ） A．6种 B．12种 C．24种 D．36种 4．已知函数，若函数在上有3个零点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．已知三点A(1,0)，B(0， )，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　) A． B． C． D． 7．五名志愿者到三个不同的单位去进行帮扶，每个单位至少一人，则甲、乙两人不在同一个单位的概率为（ ） A． B． C． D． 8．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 9．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知命题，，则是（ ） A．， B．，. C．， D．，. 11．已知公差不为0的等差数列的前项的和为，，且成等比数列，则（ ） A．56 B．72 C．88 D．40 12．在中所对的边分别是，若，则（ ） A．37 B．13 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________． 14．在平面直角坐标系中，已知圆，圆．直线与圆相切，且与圆相交于，两点，则弦的长为_________ 15．在中，角，，的对边分别是，，，若，，则的面积的最大值为______. 16．如图所示，平面BCC1B1⊥平面ABC，ÐABC＝120°，四边形BCC1B1为正方形，且AB＝BC＝2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_____． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若，求的面积． 18．（12分）为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表. （1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在的概率： （2）从参加公益劳动时间的学生中抽取3人进行面谈，记为抽到高中的人数，求的分布列； （3）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长.（直接写出结果） 19．（12分）为了解广大学生家长对校园食品安全的认识，某市食品安全检测部门对该市家长进行了一次校园食品安全网络知识问卷调查，每一位学生家长仅有一次参加机会，现对有效问卷进行整理，并随机抽取出了200份答卷，统计这些答卷的得分（满分：100分）制出的频率分布直方图如图所示，由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，其中近似为这200人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）. （1）请利用正态分布的知识求； （2）该市食品安全检测部门为此次参加问卷调查的学生家长制定如下奖励方案： ①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费： ②每次获赠的随机话费和对应的概率为： 获赠的随机话费（单位：元） 概率 市食品安全检测部门预计参加此次活动的家长约5000人，请依据以上数据估计此次活动可能赠送出多少话费？ 附：①；②若；则，，. 20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为.（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求的普通方程及的直角坐标方程； （2）求曲线上的点到距离的取值范围. 21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为. （Ⅰ）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程； （Ⅱ）已知点设直线与曲线相交于两点，求的值. 22．（10分）设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点. (Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积; (Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【题目详解】 如图所示：画出可行域和目标函数， ，即，表示直线在轴的截距加上1， 根据图像知，当时，且时，有最大值为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键. 2、C 【答案解析】 画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可． 【题目详解】 解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC， 正方体的棱长为2， 该几何体的表面积： ． 故选C． 【答案点睛】 本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键． 3、B 【答案解析】 分成甲单独到县和甲与另一人一同到县两种情况进行分类讨论，由此求得甲被派遣到县的分法数. 【题目详解】 如果甲单独到县，则方法数有种. 如果甲与另一人一同到县，则方法数有种. 故总的方法数有种. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查简答排列组合的计算，属于基础题. 4、B 【答案解析】 根据分段函数，分当，，将问题转化为的零点问题，用数形结合的方法研究. 【题目详解】 当时，，令，在是增函数，时，有一个零点， 当时，，令 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 因为在上有3个零点， 所以当时，有2个零点， 如图所示： 所以实数的取值范围为 综上可得实数的取值范围为， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了函数的零点问题，还考查了数形结合的思想和转化问题的能力，属于中档题. 5、D 【答案解析】 构造函数，令，则， 由可得， 则是区间上的单调递减函数， 且， 当x∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x2-1)f(x)>0; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x2-1)f(x)<0 ∵f(x)是奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)<0 ∴当x∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x2-1)f(x)>0. 综上所述,使得(x2-1)f(x)>0成立的x的取值范围是. 本题选择D选项. 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 6、B 【答案解析】 选B. 考点：圆心坐标 7、D 【答案解析】 三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1，求出甲、乙两人在同一个单位的概率，利用互为对立事件的概率和为1即可解决. 【题目详解】 由题意，三个单位的人数可能为2，2，1或3，1，1；基本事件总数有 种，若为第一种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种情况；若为第二 种情况，且甲、乙两人在同一个单位，共有种，故甲、乙两人在同一个单位的概率 为，故甲、乙两人不在同一个单位的概率为. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查古典概型的概率公式的计算，涉及到排列与组合的应用，在正面情况较多时，可以先求其对立事件，即甲、乙两人在同一个单位的概率，本题有一定难度. 8、A 【答案解析】 先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算． 【题目详解】 由题意， ． 由得， ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解． 9、B 【答案解析】 化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标． 【题目详解】 是纯虚数，则，， ，对应点为，在第二象限． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 10、B 【答案解析】 根据全称命题的否定为特称命题，得到结果. 【题目详解】 根据全称命题的否定为特称命题，可得， 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查含量词的命题的否定，属于基础题. 11、B 【答案解析】 ，将代入，求得公差d，再利用等差数列的前n项和公式计算即可. 【题目详解】 由已知，，，故，解得或（舍）， 故，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查等差数列的前n项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题. 12、D 【答案解析】 直接根据余弦定理求解即可． 【题目详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【答案点睛】 本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【题目详解】 设F（x）， 则F′（x）， ∵， ∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增． ∵ ∴，即F（x）＜F（2x） ∴，即x＞1 ∴不等式的解为 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 14、 【答案解析】 利用直线与圆相切求出斜率，得到直线的方程，几何法求出 【题目详解】 解：直线与圆相切，圆心为 由，得或， 当时，到直线的距离，不成立， 当时，与圆相交于，两点，到直线的距离， 故答案为． 【答案点睛】 考查直线与圆的位置关系，相切和相交问题，属于中档题． 15、 【答案解析】 化简得到，，根据余弦定理和均值不等式得到，根据面积公式计算得到答案. 【题目详解】 ，即，，故. 根据余弦定理：，即. 当时等号成立，故. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了三角恒等变换，余弦定理，均值不等式，面积公式，意在考查学生的综合应用能力和计算能力. 16、 【答案解析】 将平移到和相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【题目详解】 过作，过作，画出图像如下图所示，由于