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2023届湖南省长沙市雅礼教育集团高三考前热身数学试卷(含解析).doc
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2023 湖南省 长沙市 礼教 集团 考前 热身 数学试卷 解析
2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1.考生要认真填写考场号和座位序号。 2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知向量,是单位向量,若,则( ) A. B. C. D. 2.连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ) A. B. C. D.84 4.已知向量,,则与共线的单位向量为( ) A. B. C.或 D.或 5.《普通高中数学课程标准(2017版)》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平,现以六大素养为指标对二人进行了测验,根据测验结果绘制了雷达图(如图,每项指标值满分为5分,分值高者为优),则下面叙述正确的是( ) A.甲的数据分析素养高于乙 B.甲的数学建模素养优于数学抽象素养 C.乙的六大素养中逻辑推理最差 D.乙的六大素养整体平均水平优于甲 6.已知函数若恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.已知满足,,,则在上的投影为(    ) A. B. C. D.2 8.若集合,,则=( ) A. B. C. D. 9.要得到函数的图象,只需将函数的图象 A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 10.函数,,则“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.设点是椭圆上的一点,是椭圆的两个焦点,若,则( ) A. B. C. D. 12.设,为非零向量,则“存在正数,使得”是“”的( ) A.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.充分不必要条件 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13.如图,椭圆:的离心率为,F是的右焦点,点P是上第一角限内任意一点,,,若,则的取值范围是_______. 14.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________. 15.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为_____. 16.定义在封闭的平面区域内任意两点的距离的最大值称为平面区域的“直径”.已知锐角三角形的三个点,,,在半径为的圆上,且,分别以各边为直径向外作三个半圆,这三个半圆和构成平面区域,则平面区域的“直径”的最大值是__________. 三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(12分)已知三棱柱中,,是的中点,,. (1)求证:; (2)若侧面为正方形,求直线与平面所成角的正弦值. 18.(12分)管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具,现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁,其纵截面如图2所示,一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置(图中给出的数据是圆管内壁直径大小,). (1)请用角表示清洁棒的长; (2)若想让清洁棒通过该弯头,清洁下一段圆管,求能通过该弯头的清洁棒的最大长度. 19.(12分)如图,在三棱锥A­BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC. 20.(12分)市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.①等额本金:每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;②等额本息:每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2019年7月7日贷款到账,则2019年8月7日首次还款). 已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004. (1)若小张采取等额本金的还款方式,现已得知第一个还款月应还4900元,最后一个还款月应还2510元,试计算小张该笔贷款的总利息; (2)若小张采取等额本息的还款方式,银行规定,每月还款额不得超过家庭平均月收入的一半,已知小张家庭平均月收入为1万元,判断小张该笔贷款是否能够获批(不考虑其他因素); (3)对比两种还款方式,从经济利益的角度来考虑,小张应选择哪种还款方式. 参考数据:. 21.(12分)设椭圆,直线经过点,直线经过点,直线直线,且直线分别与椭圆相交于两点和两点. (Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点,且直线轴,求四边形的面积; (Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0,四边形为平行四边形,求证:; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,判断四边形能否为矩形,说明理由. 22.(10分)设不等式的解集为M,. (1)证明:; (2)比较与的大小,并说明理由. 2023学年模拟测试卷参考答案(含详细解析) 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 设,根据题意求出的值,代入向量夹角公式,即可得答案; 【题目详解】 设,, 是单位向量,, ,, 联立方程解得:或 当时,; 当时,; 综上所述:. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查向量的模、夹角计算,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意的两种情况. 2、D 【答案解析】 先求出四个顶点、四个焦点的坐标,四个顶点构成一个菱形,求出菱形的面积,四个焦点构成正方形,求出其面积,利用重要不等式求得取得最大值时有,从而求得其离心率. 【题目详解】 双曲线与互为共轭双曲线, 四个顶点的坐标为,四个焦点的坐标为, 四个顶点形成的四边形的面积, 四个焦点连线形成的四边形的面积, 所以, 当取得最大值时有,,离心率, 故选:D. 【答案点睛】 该题考查的是有关双曲线的离心率的问题,涉及到的知识点有共轭双曲线的顶点,焦点,菱形面积公式,重要不等式求最值,等轴双曲线的离心率,属于简单题目. 3、B 【答案解析】 画出几何体的直观图,计算表面积得到答案. 【题目详解】 该几何体的直观图如图所示: 故. 故选:. 【答案点睛】 本题考查了根据三视图求表面积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 4、D 【答案解析】 根据题意得,设与共线的单位向量为,利用向量共线和单位向量模为1,列式求出即可得出答案. 【题目详解】 因为,,则, 所以, 设与共线的单位向量为, 则, 解得 或 所以与共线的单位向量为或. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义. 5、D 【答案解析】 根据雷达图对选项逐一分析,由此确定叙述正确的选项. 【题目详解】 对于A选项,甲的数据分析分,乙的数据分析分,甲低于乙,故A选项错误. 对于B选项,甲的建模素养分,乙的建模素养分,甲低于乙,故B选项错误. 对于C选项,乙的六大素养中,逻辑推理分,不是最差,故C选项错误. 对于D选项,甲的总得分分,乙的总得分分,所以乙的六大素养整体平均水平优于甲,故D选项正确. 故选:D 【答案点睛】 本小题主要考查图表分析和数据处理,属于基础题. 6、D 【答案解析】 由恒成立,等价于的图像在的图像的上方,然后作出两个函数的图像,利用数形结合的方法求解答案. 【题目详解】 因为由恒成立,分别作出及的图象,由图知,当时,不符合题意,只须考虑的情形,当与图象相切于时,由导数几何意义,此时,故. 故选:D 【答案点睛】 此题考查的是函数中恒成立问题,利用了数形结合的思想,属于难题. 7、A 【答案解析】 根据向量投影的定义,即可求解. 【题目详解】 在上的投影为. 故选:A 【答案点睛】 本题考查向量的投影,属于基础题. 8、C 【答案解析】 试题分析:化简集合 故选C. 考点:集合的运算. 9、D 【答案解析】 先将化为,根据函数图像的平移原则,即可得出结果. 【题目详解】 因为, 所以只需将的图象向右平移个单位. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的平移,熟记函数平移原则即可,属于基础题型. 10、B 【答案解析】 根据函数奇偶性的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【题目详解】 设,若函数是上的奇函数,则,所以,函数的图象关于轴对称. 所以,“是奇函数”“的图象关于轴对称”; 若函数是上的偶函数,则,所以,函数的图象关于轴对称. 所以,“的图象关于轴对称”“是奇函数”. 因此,“的图象关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件. 故选:B. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合函数奇偶性的性质判断是解决本题的关键,考查推理能力,属于中等题. 11、B 【答案解析】 ∵ ∵ ∴ ∵, ∴ ∴ 故选B 点睛:本题主要考查利用椭圆的简单性质及椭圆的定义. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析,既使不画出图形,思考时也要联想到图形,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系,挖掘出它们之间的内在联系. 12、D 【答案解析】 充分性中,由向量数乘的几何意义得,再由数量积运算即可说明成立;必要性中,由数量积运算可得,不一定有正数,使得,所以不成立,即可得答案. 【题目详解】 充分性:若存在正数,使得,则,,得证; 必要性:若,则,不一定有正数,使得,故不成立; 所以是充分不必要条件 故选:D 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的运算,向量数乘的几何意义,还考查了充分必要条件的判定,属于简单题. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 13、 【答案解析】 由于点在椭圆上运动时,与轴的正方向的夹角在变,所以先设,又由,可知,从而可得,而点在椭圆上,所以将点的坐标代入椭圆方程中化简可得结果. 【题目详解】 设,,,则, 由,得,代入椭圆方程, 得,化简得恒成立, 由此得,即,故. 故答案为: 【答案点睛】 此题考查的是利用椭圆中相关两个点的关系求离心率,综合性强,属于难题 . 14、1 【答案解析】 根据均值的定义计算. 【题目详解】 由题意,∴. 故答案为:1. 【答案点睛】 本题考查均值的概念,属于基础题. 15、 【答案解析】 分析:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),利用差角的正切公式,结合以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切.且∠APB的大小恒为定值,即可求出线段OP的长. 详解:设O2(a,0),圆O2的半径为r(变量),OP=t(常数),则 ∵∠APB的大小恒为定值, ∴t=,∴|OP|=. 故答案为 点睛:本题考查圆与圆的位置关系,考查差角的正切公式,考查学生的计算能力,属于中档题. 16、 【答案解析】 先找到平面区域内任意两点的最大值为,再利用三角恒等变换化简即可得到最大值. 【题目详解】 由已知及正弦定理,得,所以, ,取AB中点E,

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