2023届石家庄市第二中学高三冲刺模拟数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某人用随机模拟的方法估计无理数的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线与曲线相交于点，过作轴的垂线与轴相交于点（如图），然后向矩形内投入粒豆子，并统计出这些豆子在曲线上方的有粒，则无理数的估计值是（ ） A． B． C． D． 2．若的展开式中二项式系数和为256，则二项式展开式中有理项系数之和为（ ） A．85 B．84 C．57 D．56 3．设函数，则函数的图像可能为（ ） A． B． C． D． 4．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ） A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加 B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍 C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍 D．2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一 5．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则＝（ ） A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6} 6．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．若圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为60°，则体积为( ) A． B． C． D． 8．已知函数．若存在实数，且，使得，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 9．已知函数，若对任意，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．已知直线过双曲线C：的左焦点F，且与双曲线C在第二象限交于点A，若（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 A． B． C． D． 11．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 12．是虚数单位，则（ ） A．1 B．2 C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________. 14．已知i为虚数单位，复数，则＝_______． 15．以，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，且满足，则点的轨迹方程为_________． 16．已知三棱锥中，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为__________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角， （1）求的值； （2）求边的长. 18．（12分）已知，函数. （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立. 19．（12分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求和的极坐标方程； （2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围. 20．（12分）已知，，且. （1）求的最小值； （2）证明：. 21．（12分）已知集合，集合. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围. 22．（10分）设函数. （1）解不等式； （2）记的最大值为，若实数、、满足，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用定积分计算出矩形中位于曲线上方区域的面积，进而利用几何概型的概率公式得出关于的等式，解出的表达式即可. 【题目详解】 在函数的解析式中，令，可得，则点，直线的方程为， 矩形中位于曲线上方区域的面积为， 矩形的面积为， 由几何概型的概率公式得，所以，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用随机模拟的思想估算的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题. 2、A 【答案解析】 先求，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和. 【题目详解】 解：的展开式中二项式系数和为256 故， 要求展开式中的有理项，则 则二项式展开式中有理项系数之和为： 故选：A 【答案点睛】 考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题. 3、B 【答案解析】 根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案. 【题目详解】 定义域为： ，函数为偶函数，排除 ，排除 故选 【答案点睛】 本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧. 4、C 【答案解析】 通过图表所给数据，逐个选项验证. 【题目详解】 根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C. 【答案点睛】 本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单. 5、B 【答案解析】 按补集、交集定义，即可求解. 【题目详解】 ＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}， 所以＝{1，5，6}. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 6、C 【答案解析】 作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积. 【题目详解】 三棱锥的实物图如下图所示： 将其补成直四棱锥，底面， 可知四边形为矩形，且，. 矩形的外接圆直径，且. 所以，三棱锥外接球的直径为， 因此，该三棱锥的外接球的表面积为. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 7、D 【答案解析】 设圆锥底面圆的半径为，由轴截面面积为可得半径，再利用圆锥体积公式计算即可. 【题目详解】 设圆锥底面圆的半径为，由已知，，解得， 所以圆锥的体积. 故选：D 【答案点睛】 本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题. 8、D 【答案解析】 首先对函数求导，利用导数的符号分析函数的单调性和函数的极值，根据题意，列出参数所满足的不等关系，求得结果. 【题目详解】 ，令，得，． 其单调性及极值情况如下： x 0 + 0 _ 0 + 极大值 极小值 若存在，使得， 则（如图1）或（如图2）． （图1） （图2） 于是可得， 故选：D. 【答案点睛】 该题考查的是有关根据函数值的关系求参数的取值范围的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象数形结合，属于较难题目. 9、D 【答案解析】 先将所求问题转化为对任意恒成立，即得图象恒在函数 图象的上方，再利用数形结合即可解决. 【题目详解】 由得，由题意函数得图象恒在函数图象的上方， 作出函数的图象如图所示 过原点作函数的切线，设切点为，则，解得，所以切 线斜率为，所以，解得. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 10、B 【答案解析】 直线的倾斜角为，易得．设双曲线C的右焦点为E，可得中，，则，所以双曲线C的离心率为.故选B． 11、C 【答案解析】 依次判断函数的值域和奇偶性得到答案. 【题目详解】 A. ，值域为，非奇非偶函数，排除； B. ，值域为，奇函数，排除； C. ，值域为，奇函数，满足； D. ，值域为，非奇非偶函数，排除； 故选：. 【答案点睛】 本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 12、C 【答案解析】 由复数除法的运算法则求出，再由模长公式，即可求解. 【题目详解】 由. 故选:C. 【答案点睛】 本题考查复数的除法和模，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值． 【题目详解】 解：设点，，其中， ， 由，，， 可设 ， 导数为， 由，可得 ， 可得或， 由 ，， 可得，即，可得， 由可得函数递减；由，可得函数递增， 可得时，函数取得最小值，且为， 则的最小值为1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题． 14、 【答案解析】 先把复数进行化简，然后利用求模公式可得结果. 【题目详解】 ． 故答案为：. 【答案点睛】 本题主要考查复数模的求解，利用复数的运算把复数化为的形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 15、 【答案解析】 根据圆的性质可知在线段的垂直平分线上，由此得到，同理可得，由对数运算法则可知，从而化简得到，由此确定轨迹方程. 【题目详解】 ，， 和的中点坐标为，且在线段的垂直平分线上， ，即，同理可得：， ，， 点的轨迹方程为． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查动点轨迹方程的求解问题，关键是能够利用圆的性质和对数运算法则构造出满足的方程，由此得到结果. 16、 【答案解析】 设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB 的垂线，则垂线的交点为球心O，将的长度求出或用球半径表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半径. 【题目详解】 设的中心为T，AB的中点为N，AC中点为M，分别过M，T做平面ABC，平面PAB 的垂线，则垂线的交点为球心O，如图所示 因为，，所以，，， 又二面角的大小为，则，，所以 ， 设外接球半径为R，则，， 在中，由余弦定理，得， 即，解得， 故三棱锥外接球的表面积. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的表面积问题，解决此类问题一定要数形结合，建立关于球的半径的方程，本题计算量较大，是一道难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1） （2） 【答案解析】 （1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出． 【题目详解】 (1)因为角 为钝角， ，所以 ， 又 ，所以 ， 且 ， 所以 . (2)因为 ，且 ，所以 ， 又 ， 则 ， 所以 . 18、（1）（2）见解析 【答案解析】 （1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即