2023届山西省汾阳市第二高级中学高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．根据散点图，对两个具有非线性关系的相关变量x，y进行回归分析，设u= lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到线性回归方程为=0.5v+2，则变量y的最大值的估计值是（ ） A．e B．e2 C．ln2 D．2ln2 2．复数满足，则复数在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合是（ ） A． B． C． D． 4．如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点的距离等于（ ） A． B．1 C． D． 5．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥且平面，其外接球体积为（ ） A． B． C． D． 8．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 9．复数 (i为虚数单位)的共轭复数是 A．1+i B．1−i C．−1+i D．−1−i 10．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A． B． C． D． 11．在中，点D是线段BC上任意一点，，，则（ ） A． B．-2 C． D．2 12．双曲线的渐近线方程为( ) A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设满足约束条件且的最小值为7，则＝_________. 14．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________. 15．如图所示，在边长为4的正方形纸片中，与相交于.剪去，将剩余部分沿，折叠，使、重合，则以、、、为顶点的四面体的外接球的体积为________. 16．已知的展开式中项的系数与项的系数分别为135与，则展开式所有项系数之和为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）为提供市民的健身素质，某市把四个篮球馆全部转为免费民用 （1）在一次全民健身活动中，四个篮球馆的使用场数如图，用分层抽样的方法从四场馆的使用场数中依次抽取共25场，在中随机取两数，求这两数和的分布列和数学期望； （2）设四个篮球馆一个月内各馆使用次数之和为，其相应维修费用为元，根据统计，得到如下表的数据： x 10 15 20 25 30 35 40 y 10000 11761 13010 13980 14771 15440 16020 2.99 3.49 4.05 4.50 4.99 5.49 5.99 ①用最小二乘法求与的回归直线方程； ②叫做篮球馆月惠值，根据①的结论，试估计这四个篮球馆月惠值最大时的值 参考数据和公式：， 18．（12分）在中，、、分别是角、、的对边，且. （1）求角的值； （2）若，且为锐角三角形，求的取值范围. 19．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点. 20．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点，点在第一象限，为左顶点，为下顶点，交轴于点，交轴于点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求点的坐标. 21．（12分）已知函数和的图象关于原点对称，且． （1）解关于的不等式； （2）如果对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 22．（10分）设数列，其前项和，又单调递增的等比数列， ， . (Ⅰ)求数列，的通项公式； (Ⅱ)若 ，求数列的前n项和，并求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 将u= lny，v=(x-4)2代入线性回归方程=-0.5v+2，利用指数函数和二次函数的性质可得最大估计值. 【题目详解】 解：将u= lny，v=(x4)2代入线性回归方程=0.5v+2得： ，即， 当时，取到最大值2， 因为在上单调递增，则取到最大值. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查了非线性相关的二次拟合问题，考查复合型指数函数的最值，是基础题,. 2、B 【答案解析】 设,则,可得,即可得到,进而找到对应的点所在象限. 【题目详解】 设,则, ,, 所以复数在复平面内所对应的点为,在第二象限. 故选:B 【答案点睛】 本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力. 3、D 【答案解析】 先求出集合N的补集，再求出集合M与的交集，即为所求阴影部分表示的集合. 【题目详解】 由，，可得或， 又 所以. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题. 4、D 【答案解析】 建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点的距离. 【题目详解】 将抛物线放入坐标系，如图所示， ∵，，， ∴，设抛物线，代入点， 可得 ∴焦点为， 即焦点为中点，设焦点为， ，，∴. 故选：D 【答案点睛】 本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识. 5、B 【答案解析】 分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案． 【题目详解】 如下图所示， 分别取、的中点、，连接、、， 由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，， ，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为， ，则，且，所以，，， 是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点， 分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示， 由图形可知，， 在中，，， 所以，， 所以，球的半径为，因此，球的表面积为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题． 6、B 【答案解析】 模拟程序框图运行分析即得解. 【题目详解】 ； ；. 所以①处应填写“” 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 7、A 【答案解析】 由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解. 【题目详解】 由题,因为,所以, 设,则由,可得,解得, 可将三棱锥还原成如图所示的长方体, 则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以, 所以外接球的体积. 故选:A 【答案点睛】 本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力. 8、D 【答案解析】 如图所示，设依次构成等差数列，其公差为. 根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，. 在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D． 9、B 【答案解析】 分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得． 详解：化简可得z= ∴z的共轭复数为1﹣i. 故选B． 点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题． 10、B 【答案解析】 求得基本事件的总数为，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动， 基本事件的总数为， 其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为, 所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 11、A 【答案解析】 设，用表示出，求出的值即可得出答案. 【题目详解】 设 由 ， ， . 故选：A 【答案点睛】 本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题. 12、A 【答案解析】 将双曲线方程化为标准方程为，其渐近线方程为，化简整理即得渐近线方程. 【题目详解】 双曲线得，则其渐近线方程为， 整理得. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程，双曲线的简单性质的应用. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、3 【答案解析】 根据约束条件画出可行域，再把目标函数转化为，对参数a分类讨论，当时显然不满足题意；当时，直线经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，再由最小值为7，得出结果；当时，的截距没有最小值，即z没有最小值；当时，的截距没有最大值，即z没有最小值，综上可得出结果. 【题目详解】 根据约束条件画出可行域如下：由，可得出交点， 由可得，当时显然不满足题意； 当即时，由可行域可知当直线经过可行域中的点A时，截距最小，即z有最小值，即，解得或（舍）； 当即时，由可行域可知的截距没有最小值，即z没有最小值； 当即时，根据可行域可知的截距没有最大值，即z没有最小值. 综上可知满足条件时. 故答案为：3. 【答案点睛】 本题主要考查线性规划问题，约束条件和目标函数中都有参数，要对参数进行讨论. 14、 【答案解析】 基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率． 【题目详解】 解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球， 基本事件总数n126， 其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球， 所以包含的基本事件个数m72， ∴其中三种颜色的球都有的概率是p． 故答案为：． 【答案点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15、 【答案解析】 将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案. 【题目详解】 由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示 ，，故正方体体对角线长为， 所以外接球半径为，其体积为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查三棱锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题. 16、64 【答案解析】 由题意先求得