2023届黑龙江省大庆一中学高三第六次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知抛物线y2= 4x的焦点为F，抛物线上任意一点P，且PQ⊥y轴交y轴于点Q，则 的最小值为（ ） A． B． C．l D．1 2．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的等于（ ）． A． B． C． D． 3．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知函数，，若对任意的，存在实数满足，使得，则的最大值是( ) A．3 B．2 C．4 D．5 5．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( ) A． B． C．6 D．与点O的位置有关 6．若集合，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{2，4}，B＝{3，4}，则＝（ ） A．{3，5，6} B．{1，5，6} C．{2，3，4} D．{1，2，3，5，6} 8．已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为( ) A． B． C． D． 9．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（　　） A． B． C． D．大小关系不能确定 10．已知双曲线的一条渐近线方程是，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 11．已知向量，，则与的夹角为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数是定义在上的奇函数，函数满足，且时，，则（ ） A．2 B． C．1 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知平面向量、的夹角为，且，则的最大值是_____． 14．已知集合，则_______． 15．已知向量，且 ，则实数的值是__________． 16．若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的右焦点为 （，为常数），离心率等于0.8，过焦点、倾斜角为的直线交椭圆于、两点． ⑴求椭圆的标准方程； ⑵若时，，求实数； ⑶试问的值是否与的大小无关，并证明你的结论． 18．（12分）已知，，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）若过点的直线与曲线交于，两点，过点且与直线垂直的直线与相交于点，求的最小值及此时直线的方程. 19．（12分）已知曲线的参数方程为为参数， 曲线的参数方程为为参数). （1）求与的普通方程； （2）若与相交于，两点，且，求的值. 20．（12分）如图，在直三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点.求证： （1）PQ平面； （2）平面. 21．（12分）已知函数. （1）若在上是减函数，求实数的最大值； （2）若，求证：. 22．（10分）如图，在四面体中，. （1）求证:平面平面； （2）若，求四面体的体积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设点，则点，，利用向量数量积的坐标运算可得，利用二次函数的性质可得最值. 【题目详解】 解：设点，则点，， ， ， 当时，取最小值，最小值为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查抛物线背景下的向量的坐标运算，考查学生的计算能力，是基础题. 2、C 【答案解析】 从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 3、D 【答案解析】 由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解 【题目详解】 函数的图象上两点，关于直线的对称点在上， 即曲线与有两个公共点， 即方程有两解， 即有两解， 令， 则， 则当时，；当时，， 故时取得极大值，也即为最大值， 当时，；当时，， 所以满足条件． 故选：D 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 4、A 【答案解析】 根据条件将问题转化为，对于恒成立，然后构造函数，然后求出的范围，进一步得到的最大值. 【题目详解】 ，，对任意的，存在实数满足，使得， 易得，即恒成立， ，对于恒成立, 设，则， 令，在恒成立， ， 故存在，使得，即， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ,将代入得： ， ，且， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了利用导数研究函数的单调性，零点存在定理和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属于难题. 5、B 【答案解析】 根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论. 【题目详解】 如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的， 正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形， 顶点O在平面上，高为2， 所以四棱锥的体积为， 所以该几何体的体积为. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题. 6、A 【答案解析】 用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可． 【题目详解】 解：由集合，解得， 则 故选：． 【答案点睛】 本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题． 7、B 【答案解析】 按补集、交集定义，即可求解. 【题目详解】 ＝{1，3，5，6}，＝{1，2，5，6}， 所以＝{1，5，6}. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查集合间的运算，属于基础题. 8、A 【答案解析】 令，构造，要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根，则，解得或，结合的图象，并分，两个情况分类讨论，可求出的值. 【题目详解】 令，构造，求导得，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且， 若，即，则，则，且， 故， 若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A. 【答案点睛】 解决函数零点问题，常常利用数形结合、等价转化等数学思想. 9、B 【答案解析】 先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【题目详解】 根据题意，阴影部分的面积的一半为：， 于是此点取自阴影部分的概率为． 又，故． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 10、D 【答案解析】 双曲线的渐近线方程是，所以，即 ， ，即 ，，故选D. 11、B 【答案解析】 由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果. 【题目详解】 解：由题意得，设与的夹角为， ， 由于向量夹角范围为：， ∴. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围. 12、D 【答案解析】 说明函数是周期函数，由周期性把自变量的值变小，再结合奇偶性计算函数值． 【题目详解】 由知函数的周期为4，又是奇函数， ，又，∴， ∴． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性与周期性，掌握周期性与奇偶性的概念是解题基础． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 建立平面直角坐标系，设，可得，进而可得出，，由此将转化为以为自变量的三角函数，利用三角恒等变换思想以及正弦函数的有界性可得出结果. 【题目详解】 根据题意建立平面直角坐标系如图所示，设，，以、为邻边作平行四边形，则， 设，则，，且， 在中，由正弦定理，得，即， 在中，由正弦定理，得，即. ，， 则， 当时，取最大值. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了向量的数量积最值的计算，将问题转化为角的三角函数的最值问题是解答的关键，考查计算能力，属于难题． 14、 【答案解析】 由可得集合是奇数集，由此可以得出结果. 【题目详解】 解：因为 所以集合中的元素为奇数， 所以. 【答案点睛】 本题考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性质是本题解题的关键. 15、 【答案解析】 ∵=（1，2），=（x，1）， 则=+2=（1，2）+2（x，1）=（1+2x，4）， =2﹣=2（1，2）﹣（x，1）=（2﹣x，3）， ∵∴3（1+2x）﹣4（2﹣x）=1，解得：x=． 点睛:由向量的数乘和坐标加减法运算求得，然后利用向量共线的坐标表示列式求解x的值．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=1，∥⇔a1b2﹣a2b1=1． 16、 【答案解析】 设直线l与函数及的图象分别相切于，， 因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以， 令，设，则， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增， 所以，所以实数的最小值为． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）（3）为定值 【答案解析】 试题分析：（1）利用待定系数法可得，椭圆方程为； （2）我们要知道=的条件应用，在于直线交椭圆两交点M，N的横坐标为，这样代入椭圆方程，容易得到，从而解得； （3） 需讨论斜率是否存在．一方面斜率不存在即=时，由（2）得；另一方面，当斜率存在即时，可设直线的斜率为，得直线MN：，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和焦半径公式，就能得到，所以为定值，与直线的倾斜角的大小无关 试题解析：（1），得：，椭圆方程为 （2）当时，，得：， 于是当=时，，于是， 得到 （3）①当=时，由（2）知 ②当时，设直线的斜率为，，则直线MN： 联立椭圆方程有， ，， =+== 得 综上，为定值，与直线的倾斜角的大小无关 考点：（1）待定系数求椭圆方程；（2）椭圆简单的几何性质；（3）直线与圆锥曲线 18、（1）（2）的最小值为1，此时直线： 【答案解析】 （1）用直接法求轨迹方程，即设动点为，把已知用坐标表示并整理即得．注意取值范围； （2）设：，将其与曲线的方程联立，消元并整理得，