2023届湖北武汉市高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生请注意： 1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。 2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。 3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边.已知以直角边为直径的半圆的面积之比为，记，则（ ） A． B． C． D． 3．已知命题：，，则为( ) A．， B．， C．， D．， 4．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x的值为( ) A．3 B．3.4 C．3.8 D．4 5．己知，，，则（ ） A． B． C． D． 6．复数的虚部为（ ） A． B． C．2 D． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A．96里 B．72里 C．48里 D．24里 8．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（ ） A． B． C．6 D． 9．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 10．在中，，，，点，分别在线段，上，且，，则（ ）． A． B． C．4 D．9 11．设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A． B． C．7 D．2 12．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( ) A． B．40 C．16 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数的最大值为3，的图象与y轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则 14．集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为________ ①的值可以为2； ②的值可以为； ③的值可以为； 15．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为和；乙笔试、面试通过的概率分别为和．若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是__________． 16．函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是_____. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面． （1）求证：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值； （3）设直线与平面相交于点，若，求的值． 18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2，， （Ⅰ）证明；AC⊥BP； （Ⅱ）求直线AD与平面APC所成角的正弦值． 19．（12分）如图，在直三棱柱中，，点P，Q分别为，的中点.求证： （1）PQ平面； （2）平面. 20．（12分）已知x∈R，设，，记函数. （1）求函数取最小值时x的取值范围； （2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，求△ABC的面积S的最大值. 21．（12分）已知在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列前项的和. 22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且过点. 求椭圆的方程； 已知是椭圆的内接三角形， ①若点为椭圆的上顶点，原点为的垂心，求线段的长； ②若原点为的重心，求原点到直线距离的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据指数函数与对数函数的单调性，借助特殊值即可比较大小. 【题目详解】 因为， 所以. 因为， 所以， 因为，为增函数， 所以 所以， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查了指数函数、对数函数的单调性，利用单调性比较大小，属于中档题. 2、D 【答案解析】 由半圆面积之比，可求出两个直角边 的长度之比，从而可知，结合同角三角函数的基本关系，即可求出，由二倍角公式即可求出. 【题目详解】 解：由题意知 ，以 为直径的半圆面积， 以 为直径的半圆面积，则，即. 由 ，得 ，所以. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值. 3、C 【答案解析】 根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案. 【题目详解】 全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，， . 故选：. 【答案点睛】 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题. 4、D 【答案解析】 根据三视图即可求得几何体表面积，即可解得未知数. 【题目详解】 由图可知，该几何体是由一个长宽高分别为和 一个底面半径为，高为的圆柱组合而成. 该几何体的表面积为 ， 解得， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查由三视图还原几何体，以及圆柱和长方体表面积的求解，属综合基础题. 5、B 【答案解析】 先将三个数通过指数，对数运算变形，再判断. 【题目详解】 因为，， 所以， 故选：B. 【答案点睛】 本题主要考查指数、对数的大小比较，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题. 6、D 【答案解析】 根据复数的除法运算，化简出，即可得出虚部. 【题目详解】 解：=， 故虚部为-2. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算和复数的概念. 7、B 【答案解析】 人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为，计算，代入得到答案. 【题目详解】 由题意可知此人每天走的路程构成公比为的等比数列，设此人第一天走的路程为， 则，解得，从而可得，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8、D 【答案解析】 先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解. 【题目详解】 由题意，则，，得，由定义知， 故选:D. 【答案点睛】 此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 9、C 【答案解析】 由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值. 【题目详解】 由题意及图，， 又，，所以，∴（1﹣m）， 又t，所以，解得m，t， 故选C． 【答案点睛】 本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题. 10、B 【答案解析】 根据题意，分析可得,由余弦定理求得的值，由可得结果. 【题目详解】 根据题意，，则 在中，又, 则 则 则 则 故选：B 【答案点睛】 此题考查余弦定理和向量的数量积运算，掌握基本概念和公式即可解决，属于简单题目. 11、B 【答案解析】 根据等差数列的性质并结合已知可求出，再利用等差数列性质可得，即可求出结果． 【题目详解】 因为，所以，所以， 所以， 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查等差数列的性质及前项和公式，属于基础题． 12、D 【答案解析】 如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：过分别作于，于. ，则， 根据得到：，即， 根据得到：，即， 解得，，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】，由题意，得, 解得，则的周期为4，且，所以. 考点：三角函数的图像与性质. 14、②③ 【答案解析】 根据对称性，只需研究第一象限的情况，计算：，得到，，得到答案. 【题目详解】 如图所示：根据对称性，只需研究第一象限的情况， 集合：，故，即或， 集合：，是平面上正八边形的顶点所构成的集合， 故所在的直线的倾斜角为，，故：， 解得，此时，，此时. 故答案为：②③. 【答案点睛】 本题考查了根据集合的交集求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用对称性是解题的关键. 15、 【答案解析】 分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果. 【题目详解】 甲被录取的概率；乙被录取的概率； 只有一人被录取的概率. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题. 16、 【答案解析】 对函数零点问题等价转化，分离参数讨论交点个数，数形结合求解. 【题目详解】 由题：函数在区间内有且仅有两个零点， ， 等价于函数恰有两个公共点， 作出大致图象： 要有两个交点，即， 所以. 故答案为： 【答案点睛】 此题考查函数零点问题，根据函数零点个数求参数的取值范围，关键在于对函数零点问题恰当变形，等价转化，数形结合求解. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）证明见解析（2）（3） 【答案解析】 （1）取中点为,连接,由等边三角形性质可得,再由面面垂直的性质可得,根据平行直线的性质可得,进而求证； （2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,由点在棱上,可设,即可得到,再求得平面的法向量,进而利用数量积求解； （3）设,,则,求得,,即可求得点的坐标,再由与平面的法向量垂直,进而求解. 【题目详解】 （1）证明:取中点为,连接, 因为是等边三角形,所以, 因为且相交于,所以平面,所以, 因为,所以, 因为,在平面内,所以, 所以. （2）以为原点,过作的平行线,分别以,,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设,则,,,, 因为在棱上,可设, 所以, 设平面的法向量为,因为, 所以,即,令,可得,即, 设直线与平面所成角为,所以, 可知当时,取最大值. （3）设,则有,得, 设,那么,所以, 所以. 因为, , 所以. 又因为,所以, ,设平面的法向量为, 则,即,,可得,即 因为在平面内,所以,所以, 所以,即, 所以或者（舍）,即. 【答案点睛】 本题考查面面垂直的证明,考查空间向量法求线面成角,考查运算能力与空间想象能力. 18、（Ⅰ）见解析（Ⅱ）． 【答案解析】 (I)取的中点,连接,通过证明平面得出; (II)以为原点建立坐标系，求出平面的法向量，通过计算与的夹角得出与平面所成角． 【题目详解】 （I）证明：取AC的中点M，连接PM，BM， ∵AB＝BC，PA＝PC， ∴AC⊥BM，AC⊥PM，又BM∩PM＝M， ∴AC⊥平面PBM， ∵BP⊂平面PBM， ∴AC⊥BP． （II）解：∵底面ABCD是梯形．BC∥AD，AB＝BC＝CD＝1，AD＝2， ∴∠ABC＝12