2023年创新方案高考数学复习精编人教新课标108离散型随机变量及其分布列与超几何分布理doc高中数学.docx

第十章 第八节 离散型随机变量及其分布列与超几何分布（理） 题组一 离散型随机变量分布列的性质 1.以下分布列中，是离散型随机变量分布列的是 (　　) A. X 0 1 2 P 0.3 0.4 0.5 B. X x1 x2 x3 P 0.3 －0.1 0.8 C. X 1 2 3 P D. X x1 x2 x3 P 解析：由离散型随机变量分布列的概念及性质可知C正确． 答案：C 2．设X是一个离散型随机变量，其分布列为： X －1 0 1 P 0.5 1－2q q2 那么q等于 (　　) A．1 B．1± C．1－ D．1＋ 解析：由分布列的性质得： ⇒ ∴q＝1－. 答案：C 3．随机变量X的分布列为：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，那么P(2＜X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 解析：P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案：A 4．由于故障，使得随机变量X的分布列中局部数据丧失(以“x，y〞代替)，其表如下： X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5 0.10 0.1y 0.20 那么丧失的两个数据依次为______________． 解析：由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0.1y＋0.20＝1， 得0.x5＋0.1y＝0.40，于是两个数据分别为2,5. 答案：2,5 题组二 求离散型随机变量的分布列 5.一袋中装有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，求X的分布列． 解：随机变量X的取值为3,4,5,6. P(X＝3)＝＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝； P(X＝6)＝＝. 故随机变量X的分布列为： X 3 4 5 6 P 6．设一汽车在前进途中要经过4个路口，汽车在每个路口遇到绿灯(允许通行)的概率为，遇到红灯(禁止通行)的概率为.假定汽车只在遇到红灯或到达目的地时才停止前进，X表示停车时已经通过的路口数，求： (1)X的分布列； (2)停车时最多已通过3个路口的概率． 解：(1)X的所有可能值为0,1,2,3,4.用Ak表示事件“汽车通过第k个路口时不停(遇绿灯)〞， 那么P(Ak)＝(k＝1,2,3,4)，且A1，A2，A3，A4独立． 故P(X＝0)＝P(1)＝； P(X＝1)＝P(A1·2)＝×＝； P(X＝2)＝P(A1·A2·3)＝()2＝； P(X＝3)＝P(A1·A2·A3·4)＝()3＝； P(X＝4)＝P(A1·A2·A3·A4)＝()4＝. 从而X有分布列： X 0 1 2 3 4 P (2)P(X≤3)＝1－P(X＝4)＝1－＝. 即停车时最多已通过3个路口的概率为. 题组三 超几何分布问题 7.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，其分布列为P(X)，那么P(X＝4)的值为(　　) A. B. C. D. 解析：由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球， 故P(X＝4)＝＝. 答案：C 8．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，以下概率中等于的是 (　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 解析：15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，CC表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便、6个交通方便的村庄，故P(X＝4)＝. 答案：C 9．(2023·天津高考改编)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列； (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率． 解：(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2,3. 所以随机变量X的分布列是 X 0 1 2 3 P (2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数〞为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品〞为事件A1，“恰好取出2件一等品〞为事件A2，“恰好取出3件一等品〞为事件A3.由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，而 P(A1)＝＝，P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝， ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝. 题组四 离散型随机变量及其分布列的综合应用 10.抛掷2颗骰子，所得点数之和X是一个随机变量，那么P(X≤4)＝________. 解析：相应的根本领件空间有36个根本领件，其中X＝2对应(1,1)；X＝3对应(1,2)，(2,1)；X＝4对应(1,3)，(2,2)，(3,1)． 所以P(X≤4)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4) ＝＋＋＝. 答案： 11．一个袋中装有假设干大小相同的黑球、白球和红球，从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是. (1)假设袋中共有10个球； ①求白球的个数； ②从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X分布列． (2)求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于，并指出袋中哪种颜色的球个数最少． 解：(1)①记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球〞为事件A，设袋中白球的个数为x，那么 P(A)＝1－＝，得到x＝5. 故白球有5个． ②随机变量X的取值为0,1,2,3， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＝. 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P (2)证明：设袋中有n个球，其中y个黑球， 由题意得y＝n， 所以2y＜n,2y≤n－1， 故≤. 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球〞为事件B，那么P(B)＝·＋·＋ · ＝＋×≤＋×＝. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于n，红球的个数少于.故袋中红球个数最少．