2023届浙江省湖州市天略外国语学校高三压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1． “角谷猜想”的内容是：对于任意一个大于1的整数，如果为偶数就除以2，如果是奇数，就将其乘3再加1，执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．在正项等比数列{an}中，a5-a1=15，a4-a2 =6，则a3=（ ） A．2 B．4 C． D．8 4．点为不等式组所表示的平面区域上的动点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象如图中实线所示，图中圆与的图象交于两点，且在轴上，则下列说法中正确的是 A．函数的最小正周期是 B．函数的图象关于点成中心对称 C．函数在单调递增 D．函数的图象向右平移后关于原点成中心对称 6．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知，为两条不同直线，，，为三个不同平面，下列命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则.其中正确命题序号为( ) A．②③ B．②③④ C．①④ D．①②③ 8．已知为虚数单位，若复数，则 A． B． C． D． 9．在中，为边上的中点，且，则（ ） A． B． C． D． 10．如果，那么下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 11．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（　　） A． B． C． D．大小关系不能确定 12．若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是，则_________ ，该几何体的表面积为 _________． 14．设双曲线的左焦点为，过点且倾斜角为45°的直线与双曲线的两条渐近线顺次交于，两点若，则的离心率为________． 15．已知半径为4的球面上有两点，，球心为O，若球面上的动点C满足二面角的大小为，则四面体的外接球的半径为_________. 16．若复数满足，其中是虚数单位，是的共轭复数，则________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），点.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线与曲线交于，两点，若，求的值. 18．（12分）（选修4-4：坐标系与参数方程） 在平面直角坐标系，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为． （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程； （2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，的距离之积． 19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，是棱上的一点，满足平面. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）设，，若为棱上一点，使得直线与平面所成角的大小为30°，求的值. 20．（12分）在如图所示的多面体中，平面平面，四边形是边长为2的菱形，四边形为直角梯形，四边形为平行四边形，且， ， （1）若分别为，的中点，求证：平面； （2）若，与平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值． 21．（12分）已知满足 ，且，求的值及的面积.（从①，②，③这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.） 22．（10分）已知函数. （1）若，，求函数的单调区间； （2）时，若对一切恒成立，求a的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 模拟程序运行，观察变量值可得结论． 【题目详解】 循环前，循环时：，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，不满足条件；，满足条件，退出循环，输出． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查程序框图，考查循环结构，解题时可模拟程序运行，观察变量值，从而得出结论． 2、B 【答案解析】 直接利用集合的基本运算求解即可． 【题目详解】 解：全集，集合，， 则， 故选：． 【答案点睛】 本题考查集合的基本运算，属于基础题． 3、B 【答案解析】 根据题意得到，，解得答案. 【题目详解】 ，，解得或（舍去）. 故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了等比数列的计算，意在考查学生的计算能力. 4、B 【答案解析】 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用的几何意义即可得到结论． 【题目详解】 不等式组作出可行域如图：，，， 的几何意义是动点到的斜率，由图象可知的斜率为1，的斜率为：， 则的取值范围是：，，． 故选：． 【答案点睛】 本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义结合斜率公式是解决本题的关键． 5、B 【答案解析】 根据函数的图象，求得函数，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【题目详解】 根据给定函数的图象，可得点的横坐标为，所以，解得， 所以的最小正周期， 不妨令，，由周期，所以， 又，所以，所以， 令，解得，当时，，即函数的一个对称中心为，即函数的图象关于点成中心对称．故选B． 【答案点睛】 本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 6、D 【答案解析】 画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形求解可得所求范围． 【题目详解】 画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示． 表示封闭区域内的点和定点连线的斜率， 设，结合图形可得或， 由题意得点A,B的坐标分别为， ∴， ∴或， ∴的取值范围为． 故选D． 【答案点睛】 解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 7、C 【答案解析】 根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可. 【题目详解】 根据面面平行的性质以及判定定理可得，若，，则，故①正确； 若，，平面可能相交，故②错误； 若，，则可能平行，故③错误； 由线面垂直的性质可得，④正确； 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题. 8、B 【答案解析】 因为，所以，故选B． 9、A 【答案解析】 由为边上的中点，表示出，然后用向量模的计算公式求模. 【题目详解】 解：为边上的中点， ， 故选：A 【答案点睛】 在三角形中，考查中点向量公式和向量模的求法，是基础题. 10、D 【答案解析】 利用函数的单调性、不等式的基本性质即可得出. 【题目详解】 ∵，∴，，，. 故选：D. 【答案点睛】 本小题主要考查利用函数的单调性比较大小，考查不等式的性质，属于基础题. 11、B 【答案解析】 先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得． 【题目详解】 根据题意，阴影部分的面积的一半为：， 于是此点取自阴影部分的概率为． 又，故． 故选B． 【答案点睛】 本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题． 12、B 【答案解析】 由题中垂直关系，可得渐近线的方程，结合，构造齐次关系即得解 【题目详解】 双曲线的一条渐近线与直线垂直． ∴双曲线的渐近线方程为． ，得． 则离心率． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了双曲线的渐近线和离心率，考查了学生综合分析，概念理解，数学运算的能力，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、； 【答案解析】 试题分析：如图：此几何体是四棱锥，底面是边长为的正方形，平面平面，并且，，所以体积是，解得，四个侧面都是直角三角形，所以计算出边长，表面积是 考点：1．三视图；2．几何体的表面积． 14、 【答案解析】 设直线的方程为，与联立得到A点坐标，由得，，代入可得，即得解. 【题目详解】 由题意，直线的方程为，与 联立得，， 由得，， 从而， 即， 从而离心率． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了双曲线的离心率，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 15、 【答案解析】 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接， 易知即为二面角的平面角，可求出及，然后可判断出四面体外接球的球心在直线上，在中，，结合，可求出四面体的外接球的半径. 【题目详解】 设所在截面圆的圆心为，中点为，连接， OA＝OB，所以，OD⊥AB，同理O1D⊥AB，所以，即为二面角的平面角， ， 因为，所以是等腰直角三角形，， 在中，由cos60º＝，得，由勾股定理，得：， 因为O1到A、B、C三的距离相等，所以，四面体外接球的球心在直线上， 设四面体外接球半径为， 在中，， 由勾股定理可得：，即，解得． 【答案点睛】 本题考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力，属于中档题． 16、 【答案解析】 设，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得的值. 【题目详解】 设，由，得，所以，所以. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查共轭复数，考查复数相等的条件，属于基础题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），以为圆心，为半径的圆；（2） 【答案解析】 （1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到的直角坐标方程并判断形状； （2）联立直线参数方程与的直角坐标方程，根据直线参数方程中的几何意义结合求解出的值. 【题目详解】 解：（1）由，得，所以， 即，. 所以曲线是以为圆心，为半径的圆. （2）将代入， 整理得. 设点，所对应的参数分别为，， 则，. ， 解得，则. 【答案点睛】 本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：；（2）若要使用直线参数方程中的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 18、（1）曲线：，直线的直角坐标方程；（2）1. 【答案解析】 试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线参数方程，