2023届黑龙江省鹤岗市第一中学高三第二次调研数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 请考生注意： 1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知数列的前n项和为，，且对于任意，满足，则（ ） A． B． C． D． 2．若各项均为正数的等比数列满足，则公比（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数f（x）＝eb﹣x﹣ex﹣b+c（b，c均为常数）的图象关于点（2，1）对称，则f（5）+f（﹣1）＝（ ） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．4 4．已知函数，则的最小值为( ) A． B． C． D． 5．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与的夹角为120°，则＝（ ） A． B． C． D． 6．如图，网格纸是由边长为1的小正方形构成，若粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 7．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 8．若复数（）是纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( ) A． B． C． D． 10．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（ ） A． B． C． D． 11．是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ） A． B． C． D． 12．函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若双曲线C：（，）的顶点到渐近线的距离为，则的最小值________. 14．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________． 15．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线过且与抛物线交于两点，为坐标原点，若在第一象限，那么_______________． 16．已知随机变量服从正态分布，，则__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 18．（12分）已知函数，其中． （1）①求函数的单调区间； ②若满足，且．求证： ． （2）函数．若对任意，都有，求的最大值． 19．（12分）已知函数，. （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：对任意恒成立. 20．（12分）如图，在平面四边形中，，，. （1）求； （2）求四边形面积的最大值. 21．（12分）在中，内角的对边分别是，满足条件． （1）求角； （2）若边上的高为，求的长． 22．（10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可． 【题目详解】 当时，． 所以数列从第2项起为等差数列，， 所以，，． ，， ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 2、C 【答案解析】 由正项等比数列满足，即，又，即，运算即可得解. 【题目详解】 解：因为，所以，又，所以， 又，解得. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了等比数列基本量的求法，属基础题. 3、C 【答案解析】 根据对称性即可求出答案． 【题目详解】 解：∵点（5，f（5））与点（﹣1，f（﹣1））满足（5﹣1）÷2＝2， 故它们关于点（2，1）对称，所以f（5）+f（﹣1）＝2， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查函数的对称性的应用，属于中档题． 4、C 【答案解析】 利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数，即可容易求得最小值. 【题目详解】 由于 ， 故其最小值为：. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数，以及求三角函数的最值，属综合基础题. 5、D 【答案解析】 先计算，然后将进行平方，，可得结果. 【题目详解】 由题意可得： ∴ ∴则. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查的是向量的数量积的运算和模的计算，属基础题。 6、C 【答案解析】 根据三视图还原为几何体，结合组合体的结构特征求解表面积. 【题目详解】 由三视图可知，该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体，其中半圆柱的底面半圆半径为1，高为4，长方体的底面四边形相邻边长分别为1，2，高为4，所以该几何体的表面积，故选C. 【答案点睛】 本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原成几何体是求解关键，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养. 7、C 【答案解析】 根据表示出线段长度，由勾股定理，解出每条线段的长度，再由勾股定理构造出关系，求出离心率. 【题目详解】 设，则 由椭圆的定义，可以得到 , 在中，有，解得 在中，有 整理得， 故选C项. 【答案点睛】 本题考查几何法求椭圆离心率，是求椭圆离心率的一个常用方法，通过几何关系，构造出关系，得到离心率.属于中档题. 8、B 【答案解析】 化简复数，由它是纯虚数，求得，从而确定对应的点的坐标． 【题目详解】 是纯虚数，则，， ，对应点为，在第二象限． 故选：B． 【答案点睛】 本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题． 9、A 【答案解析】 设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积． 【题目详解】 如图，设三棱柱为，且，高． 所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点， 则圆的半径为． 设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且， 所以， 即球的半径为， 所以球的体积为． 故选A． 【答案点睛】 本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率． 10、B 【答案解析】 模拟程序框图运行分析即得解. 【题目详解】 ； ；. 所以①处应填写“” 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11、B 【答案解析】 设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值． 【题目详解】 由题意设四面体的棱长为，设为的中点， 以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则可得，，取的三等分点、如图， 则，，，， 所以、、、、， 由题意设，， 和都是等边三角形，为的中点，，， ，平面，为平面的一个法向量， 因为与平面所成角为定值，则， 由题意可得， 因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值， ，可得，此时，则，. 故选：B. 【答案点睛】 考查线面所成的角的求法，及正切值为定值时的情况，属于中等题． 12、A 【答案解析】 先判断函数的奇偶性，以及该函数在区间上的函数值符号，结合排除法可得出正确选项. 【题目详解】 函数的定义域为，，该函数为偶函数，排除B、D选项； 当时，，排除C选项. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号，结合排除法得出结果，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据双曲线的方程求出其中一条渐近线，顶点，再利用点到直线的距离公式可得，由，利用基本不等式即可求解. 【题目详解】 由双曲线C：（，， 可得一条渐近线，一个顶点， 所以，解得， 则， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质、点到直线的距离公式、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 14、 【答案解析】 根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【题目详解】 设F（x）， 则F′（x）， ∵， ∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增． ∵ ∴，即F（x）＜F（2x） ∴，即x＞1 ∴不等式的解为 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 15、2 【答案解析】 如图所示，先证明，再利用抛物线的定义和相似得到. 【题目详解】 由题得,. 因为. 所以, 过点A、B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，过点B作于点E, 设|BF|=m，|AF|=n，则|BN|=m，|AM|=n， 所以|AE|=n-m，因为, 所以|AB|=3(n-m)， 所以3(n-m)=n+m， 所以. 所以. 故答案为：2 【答案点睛】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查抛物线的定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16、0.22. 【答案解析】 正态曲线关于x＝μ对称，根据对称性以及概率和为1求解即可。 【题目详解】 【答案点睛】 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）见解析；（2） 【答案解析】 （1）取中点，中点，连接，，.设交于，则为的中点，连接. 通过证明，证得平面，由此证得平面平面. （2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出二面角的余弦值. 【题目详解】 （1）取中点，中点，连接，，. 设交于，则为的中点，连接. 设，则，，∴. 由已知，，∴平面，∴. ∵，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴平面平面. （2）由（1）及已知可得平面，建立如图所示的空间坐标系，设，则，，，，，，，， 设平面的法向量为，∴，令得. 设平面的法向量为，∴，令得，∴，∴二面角的余弦值为. 【答案点睛】 本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 18、（1）①单调递增区间，，单调递减区间；②详见解析；（2）. 【答案解析】 (1)①求导可得,再分别求解与的解集,结合定义域分析函数的单调区间即可.