2023届浙江省宁波市十校高三第一次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则集合的真子集的个数是（ ） A．8 B．7 C．4 D．3 2．已知，则的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 3．已知正方体的棱长为2，点在线段上，且，平面经过点，则正方体被平面截得的截面面积为（ ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ） A． B． C． D． 5．记的最大值和最小值分别为和．若平面向量、、，满足，则（ ） A． B． C． D． 6．如图，在平行四边形中，为对角线的交点，点为平行四边形外一点，且，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 8．函数的定义域为（ ） A．或 B．或 C． D． 9．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则（ ） A．P1•P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P2 10．根据最小二乘法由一组样本点（其中），求得的回归方程是，则下列说法正确的是( ) A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．若所有样本点都在回归直线上，则变量同的相关系数为1 C．对所有的解释变量（），的值一定与有误差 D．若回归直线的斜率，则变量x与y正相关 11．已知函数，的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的一条对称轴是（ ） A． B． C． D． 12．设为锐角，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设定义域为的函数满足，则不等式的解集为__________． 14．若为假，则实数的取值范围为__________. 15．各项均为正数的等比数列中，为其前项和，若，且，则公比的值为_____. 16．已知函数（）在区间上的值小于0恒成立，则的取值范围是________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）我们称n（）元有序实数组（，，…，）为n维向量，为该向量的范数.已知n维向量，其中，，2，…，n.记范数为奇数的n维向量的个数为，这个向量的范数之和为. （1）求和的值； （2）当n为偶数时，求，（用n表示）. 18．（12分）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，. （1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程； （2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由. 19．（12分）如图：在中，，，. （1）求角； （2）设为的中点，求中线的长. 20．（12分）设数列的前列项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求证：. 21．（12分）如图，是正方形，点在以为直径的半圆弧上（不与，重合），为线段的中点，现将正方形沿折起，使得平面平面. （1）证明：平面. （2）三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值. 22．（10分）在中， 角，，的对边分别为， 其中， . （1）求角的值； （2）若，，为边上的任意一点，求的最小值. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 转化条件得，利用元素个数为n的集合真子集个数为个即可得解. 【题目详解】 由题意得， ，集合的真子集的个数为个. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题. 2、C 【答案解析】 对分奇数、偶数进行讨论，利用诱导公式化简可得. 【题目详解】 为偶数时，；为奇数时，，则的值构成的集合为. 【答案点睛】 本题考查三角式的化简，诱导公式，分类讨论，属于基本题. 3、B 【答案解析】 先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【题目详解】 如图所示： 确定一个平面， 因为平面平面， 所以，同理， 所以四边形是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为， 所以， 即 所以 由余弦定理得： 所以 所以四边形 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 4、A 【答案解析】 因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果. 【题目详解】 定义在上的函数的周期为4 ， 当时，， ，， . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题. 5、A 【答案解析】 设为、的夹角，根据题意求得，然后建立平面直角坐标系，设，，，根据平面向量数量积的坐标运算得出点的轨迹方程，将和转化为圆上的点到定点距离，利用数形结合思想可得出结果. 【题目详解】 由已知可得，则，，， 建立平面直角坐标系，设，，， 由，可得， 即， 化简得点的轨迹方程为，则， 则转化为圆上的点与点的距离，，， ， 转化为圆上的点与点的距离， ，. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查和向量与差向量模最值的求解，将向量坐标化，将问题转化为圆上的点到定点距离的最值问题是解答的关键，考查化归与转化思想与数形结合思想的应用，属于中等题. 6、D 【答案解析】 连接，根据题目，证明出四边形为平行四边形，然后，利用向量的线性运算即可求出答案 【题目详解】 连接，由，知，四边形为平行四边形，可得四边形为平行四边形，所以. 【答案点睛】 本题考查向量的线性运算问题，属于基础题 7、A 【答案解析】 构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集. 【题目详解】 构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以. 由得，所以，故不等式的解集为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 8、A 【答案解析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于的不等式，即可解得函数的定义域. 【题目详解】 由题意可得，解得或. 因此，函数的定义域为或. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题. 9、C 【答案解析】 将三辆车的出车可能顺序一一列出，找出符合条件的即可. 【题目详解】 三辆车的出车顺序可能为：123、132、213、231、312、321 方案一坐车可能：132、213、231，所以，P1＝； 方案二坐车可能：312、321，所以，P1＝； 所以P1+P2＝ 故选C. 【答案点睛】 本题考查了古典概型的概率的求法，常用列举法得到各种情况下基本事件的个数，属于基础题. 10、D 【答案解析】 对每一个选项逐一分析判断得解. 【题目详解】 回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A错误； 所有样本点都在回归直线上，则变量间的相关系数为，故B错误； 若所有的样本点都在回归直线上，则的值与相等，故C错误； 相关系数r与符号相同，若回归直线的斜率，则，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x与y正相关，故D正确． 故选D． 【答案点睛】 本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力. 11、D 【答案解析】 由题，得，由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，可得最小正周期，从而求得，得到函数的解析式，又因为当时，，由此即可得到本题答案. 【题目详解】 由题，得， 因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于， 所以函数的最小正周期，则， 所以， 当时，， 所以是函数的一条对称轴， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查利用和差公式恒等变形，以及考查三角函数的周期性和对称性. 12、D 【答案解析】 用诱导公式和二倍角公式计算． 【题目详解】 ． 故选：D． 【答案点睛】 本题考查诱导公式、余弦的二倍角公式，解题关键是找出已知角和未知角之间的联系． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据条件构造函数F（x），求函数的导数，利用函数的单调性即可得到结论． 【题目详解】 设F（x）， 则F′（x）， ∵， ∴F′（x）＞0，即函数F（x）在定义域上单调递增． ∵ ∴，即F（x）＜F（2x） ∴，即x＞1 ∴不等式的解为 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键． 14、 【答案解析】 由为假，可知为真，所以对任意实数恒成立，求出的最小值，令即可. 【题目详解】 因为为假，则其否定为真， 即为真，所以对任意实数恒成立，所以. 又，当且仅当，即时，等号成立，所以. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查全称命题与特称命题间的关系的应用，利用参变分离是解决本题的关键，属于中档题. 15、 【答案解析】 将已知由前n项和定义整理为，再由等比数列性质求得公比，最后由数列各项均为正数，舍根得解. 【题目详解】 因为 即 又等比数列各项均为正数，故 故答案为： 【答案点睛】 本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题. 16、 【答案解析】 首先根据的取值范围，求得的取值范围，由此求得函数的值域，结合区间上的值小于0恒成立列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【题目详解】 由于，所以， 由于区间上的值小于0恒成立， 所以（）. 所以， 由于，所以， 由于，所以令得. 所以的取值范围是. 故答案为： 【答案点睛】 本小题主要考查三角函数值域的求法，考查三角函数值恒小于零的问题的求解，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1），.（2）， 【答案解析】 （1）利用枚举法将范数为奇数的二元有序实数对都写出来，再做和；（2）用组合数表示和，再由公式或将组合数进行化简，得出最终结果. 【题目详解】 解：（1）范数为奇数的二元有序实数对有：，，，， 它们的范数依次为1，1，1，1，故，. （2）当n为偶数时，在向量的n个坐标中，要使得范数为奇数，则0的个数一定是奇数，所以可按照含0个数为：1，3，…，进行讨论：的n个坐标中含1个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为； 的n个坐标中含3个0，其余坐标为1或，共有个，每个的范数为； 的n个坐标中含个0，其余坐标为1或， 共有个，每个