2023届黑龙江省农垦建三江管理局第一中学高三第三次测评数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则关于的方程所表示的曲线是（ ） A．长轴在轴上的椭圆 B．长轴在轴上的椭圆 C．实轴在轴上的双曲线 D．实轴在轴上的双曲线 2．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ） A． B． C． D． 3．己知函数的图象与直线恰有四个公共点，其中，则（ ） A． B．0 C．1 D． 4．中，角的对边分别为，若，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 5．将函数的图象分别向右平移个单位长度与向左平移(>0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则的最小值为( ) A． B． C． D． 6．函数的图象与函数的图象的交点横坐标的和为（ ） A． B． C． D． 7．已知曲线且过定点，若且，则的最小值为（ ）. A． B．9 C．5 D． 8．若变量，满足，则的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．10 9．如图，双曲线的左，右焦点分别是直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点.若则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 10．已知为虚数单位，若复数，，则 A． B． C． D． 11．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与双 曲线的一条渐近线交于点及点，则双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 12．已知函数，若函数的极大值点从小到大依次记为，并记相应的极大值为，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．如图是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设， ，则的面积为________. 14．在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为_____． 15．已知函数，且，，使得，则实数m的取值范围是______. 16．已知函数，则下列结论中正确的是_________.①是周期函数；②的对称轴方程为，；③在区间上为增函数；④方程在区间有6个根. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在数列中，已知，且，. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，证明：. 18．（12分）椭圆：（）的离心率为，它的四个顶点构成的四边形面积为. （1）求椭圆的方程； （2）设是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，求证：直线恒过一个定点. 19．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由. 20．（12分）△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为 (1)求; (2)若求△ABC的周长. 21．（12分）将棱长为的正方体截去三棱锥后得到如图所示几何体，为的中点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值. 22．（10分）运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时，每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元（），运输的路程为S（千米）.设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用（包括运费和损耗费）分别为（元）、（元）、（元）. （1）请分别写出、、的表达式； （2）试确定使用哪种运输工具总费用最省. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 根据条件，方程．即，结合双曲线的标准方程的特征判断曲线的类型． 【题目详解】 解：∵k＞1，∴1+k>0，k2-1＞0， 方程，即，表示实轴在y轴上的双曲线， 故选C． 【答案点睛】 本题考查双曲线的标准方程的特征，依据条件把已知的曲线方程化为是关键． 2、A 【答案解析】 因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果. 【题目详解】 定义在上的函数的周期为4 ， 当时，， ，， . 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题. 3、A 【答案解析】 先将函数解析式化简为，结合题意可求得切点及其范围，根据导数几何意义，即可求得的值. 【题目详解】 函数 即 直线与函数图象恰有四个公共点，结合图象知直线与函数相切于，， 因为， 故， 所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用，由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题. 4、A 【答案解析】 先求出，由正弦定理求得，然后由面积公式计算． 【题目详解】 由题意， ． 由得， ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查求三角形面积，考查正弦定理，同角间的三角函数关系，两角和的正弦公式与诱导公式，解题时要根据已知求值要求确定解题思路，确定选用公式顺序，以便正确快速求解． 5、B 【答案解析】 首先根据函数的图象分别向左与向右平移m,n个单位长度后，所得的两个图像重合， 那么，利用的最小正周期为，从而求得结果. 【题目详解】 的最小正周期为， 那么(∈)， 于是， 于是当时，最小值为， 故选B. 【答案点睛】 该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目. 6、B 【答案解析】 根据两个函数相等，求出所有交点的横坐标，然后求和即可. 【题目详解】 令，有，所以或.又，所以或或或，所以函数的图象与函数的图象交点的横坐标的和，故选B. 【答案点睛】 本题主要考查三角函数的图象及给值求角，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养. 7、A 【答案解析】 根据指数型函数所过的定点，确定，再根据条件，利用基本不等式求的最小值. 【题目详解】 定点为, ， 当且仅当时等号成立， 即时取得最小值. 故选：A 【答案点睛】 本题考查指数型函数的性质，以及基本不等式求最值，意在考查转化与变形，基本计算能力，属于基础题型. 8、D 【答案解析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解最大值即可． 【题目详解】 解：画出满足条件的平面区域，如图示： 如图点坐标分别为， 目标函数的几何意义为，可行域内点与坐标原点的距离的平方，由图可知到原点的距离最大，故. 故选：D 【答案点睛】 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，属于中档题． 9、A 【答案解析】 易得，过B作x轴的垂线，垂足为T，在中，利用即可得到的方程. 【题目详解】 由已知，得，过B作x轴的垂线，垂足为T，故， 又所以，即， 所以双曲线的离心率. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到的方程或不等式，本题属于容易题. 10、B 【答案解析】 由可得，所以，故选B． 11、C 【答案解析】 根据双曲线方程求出渐近线方程：，再将点代入可得，连接，根据圆的性质可得，从而可求出，再由即可求解. 【题目详解】 由双曲线， 则渐近线方程：， ， 连接，则，解得， 所以，解得. 故双曲线方程为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 12、C 【答案解析】 对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当时有极大值，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点的通项公式，且相应极大值，分组求和即得 【题目详解】 当时，， 显然当时有，， ∴经单调性分析知 为的第一个极值点 又∵时， ∴，，，…，均为其极值点 ∵函数不能在端点处取得极值 ∴，， ∴对应极值，， ∴ 故选：C 【答案点睛】 本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据个全等的三角形，得到，设，求得，利用余弦定理求得，再利用三角形的面积公式，求得三角形的面积. 【题目详解】 由于三角形是由个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，所以.在三角形中，.设，则.由余弦定理得，解得.所以三角形边长为，面积为. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了等边三角形的面积计算公式、余弦定理、全等三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14、 【答案解析】 分析：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），利用差角的正切公式，结合以AB为直径的圆与圆x2+（y-2）2=1相外切．且∠APB的大小恒为定值，即可求出线段OP的长． 详解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP=t（常数），则 ∵∠APB的大小恒为定值， ∴t＝，∴|OP|=． 故答案为 点睛：本题考查圆与圆的位置关系，考查差角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 15、 【答案解析】 根据条件转化为函数在上的值域是函数在上的值域的子集；分别求值域即可得到结论. 【题目详解】 解：依题意，， 即函数在上的值域是函数在上的值域的子集. 因为在上的值域为（）或（）， 在上的值域为， 故或， 解得 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了分段函数的值域求参数的取值范围，属于中档题. 16、①②④ 【答案解析】 由函数，对选项逐个验证即得答案. 【题目详解】 函数， 是周期函数，最小正周期为，故①正确； 当或时，有最大值或最小值，此时或，即或，即. 的对称轴方程为，，故②正确； 当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，在区间上不是增函数，故③错误； 作出函数的部分图象，如图所示 方程在区间有6个根，故④正确. 故答案为：①②④. 【答案点睛】 本题考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）；（2）见解析. 【答案解析】 （1）由已知变形得到，从而是等差数列，然后利用等差数列的通项公式计算即可； （2）先求出数列的通项，再利用裂项相消法求出即可. 【题目详解】 （1）由已知，，即，又，则数列是以1为首项3 为公差的等差数列，所以，即. （2）因为，则， 所以，又 是递增数列，所以，综上，. 【答案点睛】 本题考查由递推公式求数列通项公式、裂项相消法求数列的和，考查学生的计算能力，是一道基础题. 18、（1）；（2）证明见解析. 【答案解析】 （1）根据椭圆