分享
2023年一道越南数学奥赛题的另证推广与加强.docx
下载文档

ID:1990649

大小:20.14KB

页数:5页

格式:DOCX

时间:2023-04-24

收藏 分享赚钱
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,汇文网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:3074922707
2023 一道 越南 数学 奥赛题 推广 加强
一道越南数学奥赛题的另证、推广与加强 黄锦涛 谢涛 叶济宇 摘 要:本文以一道2023年越南数学奥林匹克竞赛题为背景,给出了这道试题的另一种证法,接着给出了四元推广和加强并进行了证明,最后给出了n元推广和加强. 关键词:越南奥赛;推广;证明 1 試题呈现 试题 (2023年越南数学奥林匹克竞赛)a,b,c是满足ab+bc+ca=abc的正数,求证:b+ca2+c+ab2+a+bc2≥2. 2 试题解析 文[1]对这道竞赛题进行了证明,下面给出另外一种证明方法. 证明 因为(a-b)2≥0,所以(a+b)2≥4ab,a+b≥4aba+b=41a+1b. 同理b+c≥41b+1c,c+a≥41c+1a. 根据根本不等式可得 b+ca2=1a2(b+c)≥1a2·41b+1c=41a21b+1c. 同理有c+ab2≥41b21c+1a,a+bc2≥41c21a+1b. 所以b+ca2+c+ab2+a+bc2≥ 4(1a21b+1c+1b21c+1a+1c21a+1b). 由权方和不等式得 1a21b+1c+1b21c+1a+1c21a+1b≥(1a+1b+1c)22(1a+1b+1c) =12(1a+1b+1c). 再由ab+bc+ca=abc得1a+1b+1c=1. 所以b+ca2+c+ab2+a+bc2≥4×12=2. 3 试题推广 通过观察,可以发现这道题可以推广到四元,相应的题目如下: 推广1 a,b,c,d是满足abc+abd+acd+bcd=abcd的正数,求证: b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥3. 证明 由均值不等式有ba2+ba2+ab2≥3a, ca2+ca2+ac2≥3a, da2+da2+ad2≥3a; cb2+cb2+bc2≥3b, db2+db2+bd2≥3b, ab2+ab2+ba2≥3b; dc2+dc2+cd2≥3c, ac2+ac2+ca2≥3c, bc2+bc2+cb2≥3c; ad2+ad2+da2≥3d, bd2+bd2+db2≥3d, cd2+cd2+dc2≥3d. 将以上十二个式子相加得 b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥3(1a+1b+1c+1d)=3. 评注 此题还可以推广到n元(证明方法同上,具体证明留给读者). 推广2 a1,a2,…,an(n∈Nx)是满足a1a2…an-1+a1…an-2an+…+a2…an-1an=a1a2…an的正数,求证:a2+…+ana21+a3+…+a1a22+…+a1+…+an-1a2n≥n-1. 将这道越南竞赛题中的约束条件ab+bc+ca=abc去掉,可得2022年罗马尼亚数学奥林匹克试题: 推广3 a,b,c是正实数,求证:b+ca2+c+ab2+a+bc2≥2(1a+1b+1c). 文[2]把此题加强为: 推广4 b+ca2+c+ab2+a+bc2 ≥22c21a+1b+2a21b+1c+2b21c+1a ≥21a+1b+1c+22a-1b-1c21a+1b+1c. 同理去掉四元推广式中的约束条件abc+abd+acd+bcd=abcd有相应题目如下: 推广5 a,b,c,d是正实数,求证:b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥31a+1b+1c+1d. 接着可以对其进行加强,得到题目如下: 推广6 a,b,c,d是正实数,求证: b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥3·3a21b+1c+1d +3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c≥31a+1b+1c+1d+ 43a-1b-1c-1d231a+1b+1c+1d. 证明 由根本不等式有 b+c+da2=1a2(b+c+d)≥1a2·91b+1c+1d=9a21b+1c+1d. 同理c+d+ab2≥9b21c+1d+1a, d+a+bc2≥9c21d+1a+1b, a+b+cd2≥9d21a+1b+1c. 把上面四式相加得 b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥3·3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c. 下证 3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+ 3d21a+1b+1c≥1a+1b+1c+1d+ 43a-1b-1c-1d291a+1b+1c+1d. 为了计算方便,先证明 3a2b+c+d+3b2c+d+a+3c2d+a+b+3d2a+b+c≥a+b+c+d+4(3a-b-c-d)29(a+b+c+d). 因为 3a-b-c-d2b+c+d=9a2b+c+d-6a+b+c+d, 3b-c-d-a2c+d+a=9b2c+d+a-6b+c+d+a, 3c-d-a-b2d+a+b=9c2d+a+b-6c+d+a+b, 3d-a-b-c2a+b+c=9d2a+b+c-6d+a+b+c, 将上述四个式子相加,得 9a2b+c+d+9b2c+d+a+9c2d+a+b+9d2a+b+c= 3a-b-c-d2b+c+d+3b-c-d-a2c+d+a+ 3c-d-a-b2d+a+b+3d-a-b-c2a+b+c+3a+b+c+d. 由權方和不等式得 3a-b-c-d2b+c+d+3b-c-d-a2c+d+a +3c-d-a-b2d+a+b+3d-a-b-c2a+b+c ≥3a-b-c-d2b+c+d+b+c+d-3a23a+2b+2c+2d =3a-b-c-d21b+c+d+13a+2b+2c+2d ≥3a-b-c-d21+123a+b+c+d =43a-b-c-d23a+b+c+d. 所以 3a2b+c+d+3b2c+d+a+3c2d+a+b+3d2a+b+c≥a+b+c+d+43a-b-c-d29a+b+c+d. 作变换a→1a,b→1b,c→1c,d→1d得 3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c≥ 1a+1b+1c+1d+43a-1b-1c-1d291a+1b+1c+1d. 故 b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd 2≥3· 3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b +3d21a+1b+1c≥31a+1b+1c+1d+ 43a-1b-1c-1d231a+1b+1c+1d. 注 此题还可以对n元推广式进行加强(证明方法同上,具体证明留给读者). 推广7 a1,a2,…,an(n∈Nx)是正实数,求证: a2+…+ana21+a3+…+a1a22+…+a1+…+an-1a2n≥n-1n-1a211a2+1a3+…+1an+n-1a221a3+1a4+…+1a1+…+n-1a2n1a1+1a2+…+1an-1≥ n-11a1+1a2+…+1an+nn-1a1-1a2-1a3-…-1an2n-11a1+1a2+…+1an. 参考文献: [1]周瑜芽.巧用均值不等式证明2023年数学奥林匹克不等式题[J].中学数学研究,2023(03):49-50. [2]叶大文,邹守文.假设干国际国内数学奥林匹克不等式问题的加强[J].保山师专学报,2023,28(02):61-64. (收稿日期:2023-11-13)

此文档下载收益归作者所有

下载文档
你可能关注的文档
收起
展开