一道越南数学奥赛题的另证、推广与加强黄锦涛谢涛叶济宇摘要：本文以一道2023年越南数学奥林匹克竞赛题为背景，给出了这道试题的另一种证法，接着给出了四元推广和加强并进行了证明，最后给出了n元推广和加强.关键词：越南奥赛;推广;证明1試题呈现试题（2023年越南数学奥林匹克竞赛）a，b，c是满足ab+bc+ca=abc的正数，求证：b+ca2+c+ab2+a+bc2≥2.2试题解析文[1]对这道竞赛题进行了证明，下面给出另外一种证明方法.证明因为（a-b）2≥0，所以（a+b）2≥4ab，a+b≥4aba+b=41a+1b.同理b+c≥41b+1c，c+a≥41c+1a.根据根本不等式可得b+ca2=1a2（b+c）≥1a2·41b+1c=41a21b+1c.同理有c+ab2≥41b21c+1a，a+bc2≥41c21a+1b.所以b+ca2+c+ab2+a+bc2≥4（1a21b+1c+1b21c+1a+1c21a+1b）.由权方和不等式得1a21b+1c+1b21c+1a+1c21a+1b≥（1a+1b+1c）22（1a+1b+1c）=12（1a+1b+1c）.再由ab+bc+ca=abc得1a+1b+1c=1.所以b+ca2+c+ab2+a+bc2≥4×12=2.3试题推广通过观察，可以发现这道题可以推广到四元，相应的题目如下：推广1a，b，c，d是满足abc+abd+acd+bcd=abcd的正数，求证：b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥3.证明由均值不等式有ba2+ba2+ab2≥3a，ca2+ca2+ac2≥3a，da2+da2+ad2≥3a;cb2+cb2+bc2≥3b，db2+db2+bd2≥3b，ab2+ab2+ba2≥3b;dc2+dc2+cd2≥3c，ac2+ac2+ca2≥3c，bc2+bc2+cb2≥3c;ad2+ad2+da2≥3d，bd2+bd2+db2≥3d，cd2+cd2+dc2≥3d.将以上十二个式子相加得b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥3（1a+1b+1c+1d）=3.评注此题还可以推广到n元（证明方法同上，具体证明留给读者）.推广2a1，a2，…，an（n∈Nx）是满足a1a2…an-1+a1…an-2an+…+a2…an-1an=a1a2…an的正数，求证：a2+…+ana21+a3+…+a1a22+…+a1+…+an-1a2n≥n-1.将这道越南竞赛题中的约束条件ab+bc+ca=abc去掉，可得2022年罗马尼亚数学奥林匹克试题：推广3a，b，c是正实数，求证：b+ca2+c+ab2+a+bc2≥2（1a+1b+1c）.文[2]把此题加强为：推广4b+ca2+c+ab2+a+bc2≥22c21a+1b+2a21b+1c+2b21c+1a≥21a+1b+1c+22a-1b-1c21a+1b+1c.同理去掉四元推广式中的约束条件abc+abd+acd+bcd=abcd有相应题目如下：推广5a，b，c，d是正实数，求证：b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥31a+1b+1c+1d.接着可以对其进行加强，得到题目如下：推广6a，b，c，d是正实数，求证：b+c+da2+c+d+ab2+d+a+bc2+a+b+cd2≥3·3a21b+1c+1d+3b21c+1d+1a+3c21d+1a+1b+3d21a+1b+1c≥31a+1b+1c+1d+43a-1b-1c-1d231a+1b+1c+1d.证...
