2023届浙江省余姚市高三第三次测评数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，已知点，，若动点满足 ，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．己知集合，，则（ ） A． B． C． D．Æ 3．下列说法正确的是（ ） A．命题“，”的否定形式是“，” B．若平面，，，满足，则 C．随机变量服从正态分布（），若，则 D．设是实数，“”是“”的充分不必要条件 4．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ） A． B． C． D． 5．函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，，则的值为（ ） A．0 B．2 C．4 D．1 6．设函数在上可导，其导函数为，若函数在处取得极大值，则函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．已知的部分图象如图所示，则的表达式是（ ） A． B． C． D． 8．若函数在时取得最小值，则（ ） A． B． C． D． 9．如图是函数在区间上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将的图象上的所有的点( ) A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 B．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变 D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 10．已知函数（e为自然对数底数），若关于x的不等式有且只有一个正整数解，则实数m的最大值为（ ） A． B． C． D． 11．已知复数（为虚数单位，），则在复平面内对应的点所在的象限为（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．设为虚数单位，复数，则实数的值是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知集合,,则__________． 14．设数列的前项和为，且对任意正整数，都有，则___ 15．两光滑的曲线相切，那么它们在公共点处的切线方向相同．如图所示，一列圆 (an>0，rn>0，n=1，2…)逐个外切，且均与曲线y=x2相切，若r1=1，则a1=___，rn=______ 16．已知是定义在上的偶函数，其导函数为．若时，，则不等式的解集是___________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数，记的最小值为. （Ⅰ）解不等式； （Ⅱ）若正实数，满足，求证：. 18．（12分）设函数 . (I)求的最小正周期； (II)若且，求的值. 19．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40） 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率． 20．（12分）的内角的对边分别为，已知. （1）求的大小； （2）若，求面积的最大值. 21．（12分）已知矩阵，且二阶矩阵M满足AM=B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量. 22．（10分）已知函数 （1）解不等式； （2）若均为正实数，且满足，为的最小值，求证：. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 设出的坐标为，依据题目条件，求出点的轨迹方程， 写出点的参数方程，则，根据余弦函数自身的范围，可求得结果. 【题目详解】 设 ，则 ∵， ∴ ∴ ∴为点的轨迹方程 ∴点的参数方程为（为参数） 则由向量的坐标表达式有： 又∵ ∴ 故选：D 【答案点睛】 考查学生依据条件求解各种轨迹方程的能力，熟练掌握代数式转换，能够利用三角换元的思想处理轨迹中的向量乘积，属于中档题.求解轨迹方程的方法有：①直接法；②定义法；③相关点法；④参数法；⑤待定系数法 2、C 【答案解析】 先化简，再求. 【题目详解】 因为， 又因为， 所以， 故选：C. 【答案点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解法、集合的运算，还考查了运算求解能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；可能相交，可判断B选项；利用正态分布的性质可判断选项C；或，利用集合间的包含关系可判断选项D. 【题目详解】 命题“，”的否定形式是“，”，故A错误；， ，则可能相交，故B错误；若，则，所以 ，故，所以C错误；由，得或， 故“”是“”的充分不必要条件，D正确. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查命题的真假判断，涉及到特称命题的否定、面面相关的命题、正态分布、充分条件与必要条件等，是一道容易题. 4、B 【答案解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B. 5、C 【答案解析】 根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值. 【题目详解】 因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称， 所以为上的奇函数. 由可得，故， 故是周期为4的周期函数. 因为， 所以. 因为，故， 所以. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题. 6、B 【答案解析】 由题意首先确定导函数的符号，然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像. 【题目详解】 函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值， 当时，；当时，；当时，. 时，，时，， 当或时，；当时，. 故选： 【答案点睛】 根据函数取得极大值，判断导函数在极值点附近左侧为正，右侧为负，由正负情况讨论图像可能成立的选项，是判断图像问题常见方法，有一定难度. 7、D 【答案解析】 由图象求出以及函数的最小正周期的值，利用周期公式可求得的值，然后将点的坐标代入函数的解析式，结合的取值范围求出的值，由此可得出函数的解析式. 【题目详解】 由图象可得，函数的最小正周期为，. 将点代入函数的解析式得，得， ，，则，， 因此，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用图象求三角函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 8、D 【答案解析】 利用辅助角公式化简的解析式，再根据正弦函数的最值，求得在函数取得最小值时的值． 【题目详解】 解：，其中，，， 故当，即时，函数取最小值， 所以， 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题． 9、A 【答案解析】 由函数的最大值求出，根据周期求出，由五点画法中的点坐标求出，进而求出的解析式，与对比结合坐标变换关系，即可求出结论. 【题目详解】 由图可知，， 又，， 又，，， 为了得到这个函数的图象， 只需将的图象上的所有向左平移个长度单位， 得到的图象， 再将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）即可. 故选:A 【答案点睛】 本题考查函数的图象求解析式，考查函数图象间的变换关系，属于中档题. 10、A 【答案解析】 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值，利用导数求出的最小值，分别画出与的图象，结合图象可得. 【题目详解】 解：， ∴， 设， ∴， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， ∴， 当时，，当，， 函数恒过点， 分别画出与的图象，如图所示， ， 若不等式有且只有一个正整数解，则的图象在图象的上方只有一个正整数值， ∴且，即，且 ∴， 故实数m的最大值为， 故选：A 【答案点睛】 本题考查考查了不等式恒有一正整数解问题，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力. 11、B 【答案解析】 分别比较复数的实部、虚部与0的大小关系，可判断出在复平面内对应的点所在的象限. 【题目详解】 因为时，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 12、A 【答案解析】 根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值. 【题目详解】 复数， 由复数乘法运算化简可得， 所以由复数定义可知， 解得， 故选：A. 【答案点睛】 本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 直接根据集合和集合求交集即可. 【题目详解】 解: , , 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查集合的交集运算,是基础题. 14、 【答案解析】 利用行列式定义，得到与的关系，赋值，即可求出结果。 【题目详解】 由，令， 得，解得。 【答案点睛】 本题主要考查行列式定义的应用。 15、 【答案解析】 第一空：将圆与联立，利用计算即可； 第二空：找到两外切的圆的圆心与半径的关系，再将与联立，得到，与结合可得为等差数列，进而可得. 【题目详解】 当r1=1时，圆， 与联立消去得， 则，解得； 由图可知当时，①， 将与联立消去得 ， 则， 整理得，代入①得， 整理得， 则. 故答案为：；. 【答案点睛】 本题是抛物线与圆的关系背景下的数列题，关键是找到圆心和半径的关系，建立递推式，由递推式求通项公式，综合性较强，是一道难度较大的题目. 16、 【答案解析】 构造，先利用定义判断的奇偶性，再利用导数判断其单调性，转化为，结合奇偶性，单调性求解不等式即可. 【题目详解】 令，则是上的偶函数， ，则在上递减，于是在上递增． 由得， 即， 于是， 则， 解得． 故答案为： 【答案点睛】 本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（Ⅰ）（Ⅱ）见证明 【答案解析】 (Ⅰ)由题意结合不等式的性质零点分段求解不等式的解集即可； (Ⅱ)首先确定m的值，然后利用柯西不等式即可证得题中的不等式. 【题目详解】 （Ⅰ）①当时，，即， ∴； ②当时，， ∴； ③当时，，即， ∴. 综上所