2023届江苏省淮阴中学高三下学期第六次检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2．已知集合（），若集合，且对任意的，存在使得，其中，，则称集合A为集合M的基底.下列集合中能作为集合的基底的是（ ） A． B． C． D． 3．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ） A． B． C． D． 5．已知正四面体的棱长为，是该正四面体外接球球心，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．若直线与圆相交所得弦长为，则（ ） A．1 B．2 C． D．3 7．若复数满足，复数的共轭复数是，则（ ） A．1 B．0 C． D． 8．已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上,平面,是边长为的等边三角形,若球的表面积为,则直线与平面所成角的正切值为(　　) A． B． C． D． 9．已知为正项等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则的值是(　　 ) A．29 B．30 C．31 D．32 10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式）. A．2寸 B．3寸 C．4寸 D．5寸 11．年某省将实行“”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为 A． B． C． D． 12．命题“”的否定为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．设等比数列的前项和为，若，，则__________． 14．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________. 15．已知的展开式中含有的项的系数是，则展开式中各项系数和为______. 16．观察下列式子，，，，……，根据上述规律，第个不等式应该为__________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛. （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数； （2）记X为选出的4名选手中女教师的人数，求X的概率分布和数学期望. 18．（12分）追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（AQI）的检测数据，结果统计如表： AQI 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 重度污染 天数 6 14 18 27 25 10 （1）从空气质量指数属于[0，50]，（50，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率； （2）已知某企业每天因空气质量造成的经济损失y（单位：元）与空气质量指数x的关系式为，假设该企业所在地7月与8月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染的概率分别为.9月每天的空气质量对应的概率以表中100天的空气质量的频率代替. （i）记该企业9月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列； （ii）试问该企业7月、8月、9月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.88万元？说明你的理由. 19．（12分）已知函数． （1）若，证明：当时，； （2）若在只有一个零点，求的值. 20．（12分）已知函数，其中． （1）讨论函数的零点个数； （2）求证：． 21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. （1）写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程； （2）设直线与曲线相交于两点，的顶点也在曲线上运动，求面积的最大值. 22．（10分）选修4-5：不等式选讲 设函数． （1） 证明:； （2）若不等式的解集非空，求的取值范围． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【答案解析】 由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解. 【题目详解】 根据指数函数的图像与性质可知， 由对数函数的图像与性质可知，，所以最小； 而由对数换底公式化简可得 由基本不等式可知，代入上式可得 所以， 综上可知， 故选：D. 【答案点睛】 本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题. 2、C 【答案解析】 根据题目中的基底定义求解. 【题目详解】 因为， ， ， ， ， ， 所以能作为集合的基底， 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查集合的新定义，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 3、B 【答案解析】 由且可得，故选B. 4、C 【答案解析】 令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得． 【题目详解】 令，则，，，， ，因此，. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题． 5、A 【答案解析】 如图设平面，球心在上，根据正四面体的性质可得，根据平面向量的加法的几何意义，重心的性质，结合已知求出的值. 【题目详解】 如图设平面，球心在上，由正四面体的性质可得：三角形是正三角形，，，在直角三角形中， ， ，，，，因为为重心，因此，则，因此，因此，则，故选A. 【答案点睛】 本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题. 6、A 【答案解析】 将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可. 【题目详解】 圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即. 故选：A 【答案点睛】 本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题. 7、C 【答案解析】 根据复数代数形式的运算法则求出，再根据共轭复数的概念求解即可． 【题目详解】 解：∵， ∴， 则， ∴， 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查复数代数形式的运算法则，考查共轭复数的概念，属于基础题． 8、C 【答案解析】 设为中点,先证明平面，得出为所求角,利用勾股定理计算,得出结论． 【题目详解】 设分别是的中点 平面 是等边三角形 又 平面 为与平面所成的角 是边长为的等边三角形 ，且为所在截面圆的圆心 球的表面积为 球的半径 平面 本题正确选项： 【答案点睛】 本题考查了棱锥与外接球的位置关系问题，关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角，再利用球心位置来求解出线段长，属于中档题． 9、B 【答案解析】 设正项等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的性质，求出公比，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求． 【题目详解】 设正项等比数列的公比为q， 则a4=16q3，a7=16q6， a4与a7的等差中项为， 即有a4+a7=， 即16q3+16q6，=， 解得q=（负值舍去）， 则有S5===1． 故选C． 【答案点睛】 本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查等差数列的性质，考查运算能力，属于中档题． 10、B 【答案解析】 试题分析：根据题意可得平地降雨量，故选B. 考点：1.实际应用问题；2.圆台的体积. 11、B 【答案解析】 甲同学所有的选择方案共有种，甲同学同时选择历史和化学后，只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可，共有种选择方案，根据古典概型的概率计算公式，可得甲同学同时选择历史和化学的概率，故选B． 12、C 【答案解析】 套用命题的否定形式即可. 【题目详解】 命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”. 故选：C 【答案点睛】 本题考查全称命题的否定，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 由题意，设等比数列的公比为，根据已知条件，列出方程组，求得的值，利用求和公式，即可求解． 【题目详解】 由题意，设等比数列的公比为， 因为，即，解得，， 所以. 【答案点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式，及前n项和公式的应用，其中解答中根据等比数列的通项公式，正确求解首项和公比是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题． 14、1 【答案解析】 建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案． 【题目详解】 解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，， 设，则，， ，，， ， ， 显然当取得最大值4时，取得最小值1． 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题． 15、1 【答案解析】 由二项式定理及展开式通项公式得：，解得，令得：展开式中各项系数和，得解． 【题目详解】 解：由的展开式的通项， 令， 得含有的项的系数是， 解得， 令得：展开式中各项系数和为， 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查了二项式定理及展开式通项公式，属于中档题． 16、 【答案解析】 根据题意，依次分析不等式的变化规律，综合可得答案． 【题目详解】 解：根据题意，对于第一个不等式，，则有， 对于第二个不等式，，则有， 对于第三个不等式，，则有， 依此类推： 第个不等式为：， 故答案为． 【答案点睛】 本题考查归纳推理的应用，分析不等式的变化规律． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）28种；（2）分布见解析，. 【答案解析】 （1）分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组，可得恰好有一名女教师的选派方法数； （2）X的可能取值为，再求出X的每个取值的概率，可得X的概率分布和数学期望. 【题目详解】 解：（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种. （2）X的可能取值为0，1，2，3. ， ， ， . 故X的概率分布为： X 0 1 2 3 P 所以. 【答案点睛】 本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差，相对不难，注意运算的准