2023届江西省宜春市高安中学高三一诊考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到次结束为止．某考生一次发球成功的概率为，发球次数为，若的数学期望，则的取值范围为( ) A． B． C． D． 2．已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x），则f（x）的最小值为（ ） A． B． C． D． 3．已知函数（）的最小值为0，则（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的焦点分别为，，其中焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆与抛物线的两个交点连线正好过点，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为3，且，则抛物线的方程是( ) A． B． C． D． 6．若复数，则（ ） A． B． C． D．20 7．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 8．点为棱长是2的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为（ ） A． B． C． D． 9．已知双曲线)，其右焦点F的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ） A． B．2 C． D． 10．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 11．已知函数在上单调递增，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 12．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为 ． 14．已知，满足不等式组，则的取值范围为________． 15．如图，养殖公司欲在某湖边依托互相垂直的湖岸线、围成一个三角形养殖区.为了便于管理，在线段之间有一观察站点，到直线，的距离分别为8百米、1百米，则观察点到点、距离之和的最小值为______________百米. 16．若非零向量，满足，，，则______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若，求的最大值. 18．（12分）如图，在矩形中，，，点分别是线段的中点，分别将沿折起，沿折起，使得重合于点，连结. （Ⅰ）求证：平面平面； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值. 19．（12分）已知函数. （1）讨论的零点个数； （2）证明：当时，. 20．（12分）已知等差数列中，，数列的前项和. （1）求； （2）若，求的前项和. 21．（12分）已知奇函数的定义域为，且当时，. （1）求函数的解析式； （2）记函数，若函数有3个零点，求实数的取值范围. 22．（10分）随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质广告收入如下表所示： 根据这9年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243； 根据后5年的数据，对和作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984. （1）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案， 方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测． 从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？ 附：相关性检验的临界值表： （2）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为，纸质版本和电子书同时购买的读者比例为，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率． 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 根据题意，分别求出再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【题目详解】 由题可知，，，则 解得，由可得， 答案选A 【答案点睛】 本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功 2、A 【答案解析】 先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为，再求最值. 【题目详解】 已知函数f（x）＝sin2x+sin2（x）， =， =， 因为， 所以f（x）的最小值为. 故选：A 【答案点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 3、C 【答案解析】 设，计算可得，再结合图像即可求出答案. 【题目详解】 设，则， 则， 由于函数的最小值为0，作出函数的大致图像， 结合图像，，得， 所以. 故选：C 【答案点睛】 本题主要考查了分段函数的图像与性质，考查转化思想，考查数形结合思想，属于中档题. 4、B 【答案解析】 根据题意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解. 【题目详解】 易知，且 故有，则 故选：B 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题 5、B 【答案解析】 利用抛物线的定义可得,,把线段AB中点的横坐标为3,代入可得p值,然后可得出抛物线的方程. 【题目详解】 设抛物线的焦点为F,设点， 由抛物线的定义可知， 线段AB中点的横坐标为3，又，，可得， 所以抛物线方程为. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查抛物线的定义、标准方程,以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键. 6、B 【答案解析】 化简得到，再计算模长得到答案. 【题目详解】 ，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 7、D 【答案解析】 试题分析：，,故选D. 考点：点线面的位置关系. 8、C 【答案解析】 设的中点为，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出平面，这样可以确定动点的轨迹，最后求出动点的轨迹的长度. 【题目详解】 设的中点为，连接，因此有，而，而平面，，因此有平面，所以动点的轨迹平面与正方体的内切球的交线. 正方体的棱长为2，所以内切球的半径为，建立如下图所示的以为坐标原点的空间直角坐标系： 因此有，设平面的法向量为，所以有 ，因此到平面的距离为：，所以截面圆的半径为：，因此动点的轨迹的长度为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力. 9、C 【答案解析】 计算得到，，代入双曲线化简得到答案. 【题目详解】 双曲线的一条渐近线方程为，是第一象限内双曲线渐近线上的一点，， 故，，故，代入双曲线化简得到：，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10、A 【答案解析】 根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【题目详解】 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 若有且仅有3个零点， 则等价为有且仅有3个根， 即与有三个不同的交点， 作出函数和的图象如图， 当a=1时，与有无数多个交点， 当直线经过点时，即，时，与有两个交点， 当直线经过点时，即时，与有三个交点， 要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间， 即， 故选：A． 【答案点睛】 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 11、B 【答案解析】 由,可得,结合在上单调递增,易得,即可求出的范围. 【题目详解】 由,可得, 时,,而, 又在上单调递增,且, 所以,则,即,故. 故选:B. 【答案点睛】 本题考查了三角函数的单调性的应用,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题. 12、A 【答案解析】 过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可. 【题目详解】 过作与准线垂直，垂足为，， 则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切， 易知此时直线的斜率存在，设切线方程为， 则.则， 则直线的方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为 考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算. 点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致. 14、 【答案解析】 画出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示，易知在点处取得最小值，即，所以由图可知的取值范围为． 15、 【答案解析】 建系，将直线用方程表示出来，再用参数表示出线段的长度，最后利用导数来求函数最小值. 【题目详解】 以为原点，所在直线分别作为轴，建立平面直角坐标系，则.设直线，即，则， 所以，所以， ， 则， 则 ， 当时，，则单调递减，当时，，则单调递增， 所以当时，最短，此时. 故答案为： 【答案点睛】 本题考查导数的实际应用，属于中档题. 16、1 【答案解析】 根据向量的模长公式以及数量积公式，得出，解方程即可得出答案. 【题目详解】 ，即 解得或（舍） 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2） 【答案解析】 （1）根据单调递减可知导函数恒小于等于，采用参变分离的方法分离出，并将的部分构造成新函数，分析与最值之间的关系； （2）通过对的导函数分析，确定有唯一零点，则就是的极大值点也是最大值点，计算的值并利用进行化简，从而确定. 【题目详解】 （1）由题意知， 在上恒成立，所以在上恒成立. 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以. （2）当时，. 则， 令，则，