2023年高考数学一轮复习第二章第7节对数函数高中数学.docx

第二章 第七节 对数函数 题组一 对数的化简与求值 1.设函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，假设f(x1x2…x2023)＝8，那么f()＋f()＋…＋f(x)＝(　　) A.4 B.8 C.16 D.2loga8 解析：∵f(x1x2…x2023)＝f(x1)＋f(x2)＋…＋f(2023)＝8， ∴f()＋f()＋…＋f()＝2[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(x2023)] ＝2×8＝16. 答案：C 2.log23＝a，log37＝b，那么用a，b表示log1456为　　　　. 解析：∵log23＝a，log37＝b，∴log27＝ab， ∴log1456＝＝＝ 答案： 题组二 对数函数的图象 3.(2023·广东高考)假设函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，其图象经过点(，a)，那么f(x)＝ (　　) A.log2x B. C.logx D.x2 解析：由题意f(x)＝logax，∴a＝logaa＝， ∴f(x)＝logx. 答案：C 4.假设函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如以下图，其中a，b为常数，那么函数g(x)＝ax＋b的大致图象是 (　　) 解析：由题意得0＜a＜1,0＜b＜1，那么函数g(x)＝ax＋b的大致图象是D. 答案：D 5.函数f(x)＝ g(x)＝lnx，那么f(x)与g(x)两函数的图象的交点 个数为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：画出f(x)＝ g(x)＝lnx的图象如图，两函数的图象的交点个数为3，应选C. 答案：C 题组三 对数函数的性质 6.(2023·天津高考)设a＝，b＝，c＝()0.3，那么 (　　) A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜c＜a D.b＜a＜c 解析：∵＜＝0，∴a＜0； ∵＞＝1，∴b＞1； ∵()0.3＜1，∴0＜c＜1，应选B. 答案：B 7.(2023·诸城模拟)假设定义运算f(axb)＝ 那么函数f[log2(1＋x)xlog2(1－x)]的值域是 (　　) A.(－1,1) B.[0,1) C.(－∞，0] D.[0，＋∞) 解析：f(log2(1＋x)xlog2(1－x)) ＝ 借助函数图象易知，该函数的值域为[0,1). 答案：B 8.(文)函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，那么a的值为(　　) A. B. C. 2 D. 4 解析：故y＝ax与y＝loga(x＋1)单调性相同且在[0,1]上的最值分别在两端点处取得. 最值之和：f(0)＋f(1)＝a0＋loga1＋a＋loga2＝a， ∴loga2＋1＝0，∴a＝. 答案：B (理)函数f(x)＝ax＋logax在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为－，最大值与最小值之积为－，那么a等于 (　　) A.2 B. C.2或 D. 解析：ax与logax具有相同的单调性，最大值与最小值在区间的端点处取得，f(1)＋f(2)＝－，f(1)·f(2)＝－，解得a＝. 答案：B 9.f(x)＝loga(ax2－x)(a＞0，且a≠1)在区间[2,4]上是增函数，求实数a的取值范围. 解：设t＝ax2－x＝a(x－)2－， 假设f(x)＝logat在[2,4]上是增函数， 所以实数a的取值范围为(1，＋∞). 题组四 对数函数的综合应用 10.(2023·辽宁高考)函数f(x)满足：当x≥4时，f(x)＝()x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1).那么f(2＋log23)＝ (　　) A. B. C. D. 解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log23＜2. ∴3＜2＋log23＜4， ∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝f(log224) ＝＝＝＝. 答案：A 11.假设函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)＞0，那么f(x)的单调递增区间是　　　　. 解析：定义域为(0，＋∞)∪(－∞，－)，当x∈(0，)时，2x2＋x∈(0,1)，因为a＞ 0，a≠1，设u＝2x2＋x＞0，y＝logau在(0,1)上大于0恒成立，∴0＜a＜1，所以函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a＞0，a≠1)的单调递增区间是u＝2x2＋x(x∈(－∞，－)∪(0，＋∞))的递减区间，即(－∞，－). 答案：(－∞，－) 12.(文)假设f(x)＝x2－x＋b，且f(log2a)＝b，log2f(a)＝2(a>0且a≠1). (1)求f(log2x)的最小值及相应x的值； (2)假设f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)，求x的取值范围. 解：(1)∵f(x)＝x2－x＋b， ∴f(log2a)＝(log2a)2－log2a＋b＝b， ∴log2a＝1，∴a＝2. 又∵log2f(a)＝2，∴f(a)＝4.∴a2－a＋b＝4，∴b＝2. ∴f(x)＝x2－x＋2. ∴f(log2x)＝(log2x)2－log2x＋2＝2＋. ∴当log2x＝，即x＝时，f(log2x)有最小值. (2)由题意知 (理)f(x)＝logax，g(x)＝2loga(2x＋t－2)(a>0，a≠1，t∈R). (1)当t＝4，x∈[1,2]，且F(x)＝g(x)－f(x)有最小值2时，求a的值； (2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立，求实数t的取值范围. 解：(1)当t＝4时， F(x)＝g(x)－f(x)＝loga，x∈[1,2]， 令h(x)＝＝4(x＋＋2)，x∈[1,2]，那么 h′(x)＝4(1－)＝>0， ∴h(x)在[1,2]上是单调增函数， ∴h(x)min＝16，h(x)max＝18. 当0<a<1时，有F(x)min＝loga18， 令loga18＝2求得a＝3>1(舍去)； 当a>1时，有F(x)min＝loga16， 令loga16＝2求得a＝4>1.∴a＝4. (2)当0<a<1，x∈[1,2]时，有f(x)≥g(x)恒成立， 即当0<a<1，x∈[1,2]时，logax≥2loga(2x＋t－2)恒成立， 由logax≥2loga(2x＋t－2)可得loga≥loga(2x＋t－2)， ∴≤2x＋t－2，∴t≥－2x＋＋2. 设u(x)＝－2x＋＋2＝－2()2＋＋2 ＝－2(－)2＋， ∵x∈[1,2]，∴∈[1，]. ∴u(x)max＝u(1)＝1. ∴实数t的取值范围为t≥1.