2023届湖南省宁乡县第一高级中学高三冲刺模拟数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．函数的部分图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．2 B． C．6 D．8 4．抛物线的准线方程是，则实数（ ） A． B． C． D． 5．已知为实数集，，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知函数且的图象恒过定点，则函数图象以点为对称中心的充要条件是( ) A． B． C． D． 7．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若，则λ＋μ的值为（　　　　） A． B． C． D． 8．设点，，不共线，则“”是“”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 9．函数的大致图象是 A． B． C． D． 10．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 11．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ） A． B． C． D． 12．《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从八卦中任取两卦，这两卦的六个爻中恰有两个阳爻的概率为（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知，，求____________. 14．从4名男生和3名女生中选出4名去参加一项活动，要求男生中的甲和乙不能同时参加，女生中的丙和丁至少有一名参加，则不同的选法种数为______.（用数字作答） 15．已知函数，则曲线在点处的切线方程是_______． 16．（5分）已知椭圆方程为，过其下焦点作斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，则面积的取值范围是____________． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，矩形和梯形所在的平面互相垂直，，，. （1）若为的中点，求证：平面； （2）若，求四棱锥的体积. 18．（12分）己知，函数. （1）若，解不等式； （2）若函数，且存在使得成立，求实数的取值范围. 19．（12分）已知函数，． （Ⅰ）若，求的取值范围； （Ⅱ）若，对，，都有不等式恒成立，求的取值范围． 20．（12分）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，焦距为． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线与椭圆有两个不同的交点、，设为直线上一点，且直线、的斜率的积为．证明：点在轴上． 21．（12分）如图，在棱长为的正方形中，，分别为，边上的中点，现以为折痕将点旋转至点的位置，使得为直二面角． （1）证明：； （2）求与面所成角的正弦值． 22．（10分）已知向量， . （1）求的最小正周期； （2）若的内角的对边分别为，且，求的面积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 判断函数的性质，和特殊值的正负，以及值域，逐一排除选项. 【题目详解】 ，函数是奇函数，排除， 时，，时，，排除， 当时，， 时，，排除， 符合条件，故选C. 【答案点睛】 本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 2、A 【答案解析】 建立平面直角坐标系，求出直线， 设出点，通过，找出与的关系． 通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围． 【题目详解】 以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系， 设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ， 所以， 由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A． 【答案点睛】 本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用． 3、A 【答案解析】 先由三视图确定该四棱锥的底面形状，以及四棱锥的高，再由体积公式即可求出结果. 【题目详解】 由三视图可知，该四棱锥为斜着放置的四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形，上底为1，下底为2，高为2，四棱锥的高为2， 所以该四棱锥的体积为. 故选A 【答案点睛】 本题主要考查几何的三视图，由几何体的三视图先还原几何体，再由体积公式即可求解，属于常考题型. 4、C 【答案解析】 根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可. 【题目详解】 因为准线方程为,所以抛物线方程为,所以,即. 故选：C 【答案点睛】 本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题. 5、C 【答案解析】 求出集合，，，由此能求出． 【题目详解】 为实数集，，， 或， ． 故选：． 【答案点睛】 本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 6、A 【答案解析】 由题可得出的坐标为，再利用点对称的性质，即可求出和. 【题目详解】 根据题意，，所以点的坐标为， 又 ， 所以. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题. 7、B 【答案解析】 建立平面直角坐标系，用坐标表示，利用，列出方程组求解即可. 【题目详解】 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0，0). 不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)， ∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)， 解得则. 故选：B 【答案点睛】 本题主要考查了由平面向量线性运算的结果求参数，属于中档题. 8、C 【答案解析】 利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可. 【题目详解】 由于点，，不共线，则“”； 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【答案点睛】 本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题. 9、A 【答案解析】 利用函数的对称性及函数值的符号即可作出判断. 【题目详解】 由题意可知函数为奇函数，可排除B选项； 当时，，可排除D选项； 当时，，当时，， 即，可排除C选项， 故选：A 【答案点睛】 本题考查了函数图象的判断，函数对称性的应用，属于中档题． 10、B 【答案解析】 利用复数除法、加法运算，化简求得，再求得 【题目详解】 ，故. 故选：B 【答案点睛】 本小题主要考查复数的除法运算、加法运算，考查复数的模，属于基础题. 11、C 【答案解析】 首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+…+n1=时，当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案． 【题目详解】 当n=k时，等式左端=1+1+…+k1， 当n=k+1时，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了项（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1． 故选：C． 【答案点睛】 本题主要考查数学归纳法，属于中档题./ 12、C 【答案解析】 分类讨论，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦；从仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦中取一个，再取没有阳爻的坤卦，计算满足条件的种数，利用古典概型即得解. 【题目详解】 由图可知，仅有一个阳爻的有坎、艮、震三卦，从中取两卦满足条件，其种数是； 仅有两个阳爻的有巽、离、兑三卦，没有阳爻的是坤卦，此时取两卦满足条件的种数是，于是所求的概率． 故选：C 【答案点睛】 本题考查了古典概型的应用，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 求出向量的坐标，然后利用向量数量积的坐标运算可计算出结果. 【题目详解】 ，，， 因此，. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查平面向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于基础题. 14、1 【答案解析】 由排列组合及分类讨论思想分别讨论：①设甲参加，乙不参加，②设乙参加，甲不参加，③设甲，乙都不参加，可得不同的选法种数为9+9+5＝1，得解． 【题目详解】 ①设甲参加，乙不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9， ②设乙参加，甲不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为9， ③设甲，乙都不参加，由女生中的丙和丁至少有一名参加，可得不同的选法种数为5， 综合①②③得：不同的选法种数为9+9+5＝1， 故答案为：1． 【答案点睛】 本题考查了排列组合及分类讨论思想，准确分类及计算是关键，属中档题． 15、 【答案解析】 求导，x=0代入求k，点斜式求切线方程即可 【题目详解】 则又 故切线方程为y=x+1 故答案为y=x+1 【答案点睛】 本题考查切线方程，求导法则及运算，考查直线方程，考查计算能力，是基础题 16、 【答案解析】 由题意，，则，得．由题意可设的方程为，，联立方程组，消去得，恒成立，，，则，点到直线的距离为，则，又，则，当且仅当即时取等号．故面积的取值范围是. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (1)见解析(2) 【答案解析】 （1）设EC与DF交于点N，连结MN，由中位线定理可得MN∥AC，故AC∥平面MDF； （2）取CD中点为G，连结BG，EG，则可证四边形ABGD是矩形，由面面垂直的性质得出BG⊥平面CDEF，故BG⊥DF，又DF⊥BE得出DF⊥平面BEG，从而得出DF⊥EG，得出Rt△DEG～Rt△EFD，列出比例式求出DE，代入体积公式即可计算出体积． 【题目详解】 （1）证明：设与交于点，连接， 在矩形中，点为中点， ∵为的中点，∴， 又∵平面，平面， ∴平面. （2）取中点为，连接，， 平面平面， 平面平面， 平面，， ∴平面，同理平面， ∴的长即为四棱锥的高， 在梯形中，， ∴四边形是平行四边形，， ∴平面， 又∵平面，∴， 又，， ∴平面，. 注意到， ∴，， ∴. 【答案点睛】 求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. ①割补法：求一些不规则几何体的体积时，常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过