2023届江西上饶中学高三压轴卷数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设i为虚数单位，若复数，则复数z等于( ) A． B． C． D．0 2．已知等差数列中，若，则此数列中一定为0的是（ ） A． B． C． D． 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．已知函数，则下列结论错误的是( ) A．函数的最小正周期为π B．函数的图象关于点对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 5．设是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是（　　） A．若,,则 B．若，,则 C．若,,则 D．若,,则 6．已知双曲线的离心率为，抛物线的焦点坐标为，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 7．已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( ) A． B． C．（） D．（） 8．在等差数列中，若，则（ ） A．8 B．12 C．14 D．10 9．设，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）． A．1 B． C．2 D．3 11．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 12．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若双曲线的两条渐近线斜率分别为，，若，则该双曲线的离心率为________. 14．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________． 15．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________. 16．若点为点在平面上的正投影，则记.如图，在棱长为1的正方体中，记平面为，平面为，点是线段上一动点，.给出下列四个结论： ①为的重心； ②； ③当时，平面； ④当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为. 其中，所有正确结论的序号是________________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）如图，已知四边形的直角梯形，∥BC，，，，为线段的中点，平面，，为线段上一点（不与端点重合）． （1）若， （ⅰ）求证：PC∥平面； （ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值； （2）否存在实数满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由． 18．（12分）已知函数. （1）解不等式； （2）若，，，求证：. 19．（12分）设函数， （1）当，，求不等式的解集； （2）已知，，的最小值为1，求证：. 20．（12分）为贯彻十九大报告中“要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要”的要求，某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况．现分别从、、三块试验田中各随机抽取株植物测量高度，数据如下表（单位：厘米）： 组 组 组 假设所有植株的生长情况相互独立．从、、三组各随机选株，组选出的植株记为甲，组选出的植株记为乙，组选出的植株记为丙． （1）求丙的高度小于厘米的概率； （2）求甲的高度大于乙的高度的概率； （3）表格中所有数据的平均数记为．从、、三块试验田中分别再随机抽取株该种植物，它们的高度依次是、、（单位：厘米）．这个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为，试比较和的大小．（结论不要求证明） 21．（12分）如图，三棱锥中，点，分别为，的中点，且平面平面． 求证：平面； 若，，求证：平面平面. 22．（10分）如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点. （1）证明：平面； （2）求几何体的体积. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、B 【答案解析】 根据复数除法的运算法则，即可求解. 【题目详解】 . 故选:B. 【答案点睛】 本题考查复数的代数运算，属于基础题. 2、A 【答案解析】 将已知条件转化为的形式，由此确定数列为的项. 【题目详解】 由于等差数列中，所以，化简得，所以为. 故选：A 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列的基本量计算，属于基础题. 3、C 【答案解析】 分析：根据集合可直接求解. 详解：, , 故选C 点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算. 4、D 【答案解析】 由可判断选项A；当时，可判断选项B；利用整体换元法可判断选项C；可判断选项D. 【题目详解】 由题知，最小正周期，所以A正确；当时， ，所以B正确；当时，，所以C正确；由 的图象向左平移个单位，得 ，所以D错误. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查余弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性、单调性以及图象变换后的解析式等知识，是一道中档题. 5、C 【答案解析】 在A中，与相交或平行；在B中，或；在C中，由线面垂直的判定定理得；在D中，与平行或． 【题目详解】 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则： 在A中，若，，则与相交或平行，故A错误； 在B中，若，，则或，故B错误； 在C中，若，，则由线面垂直的判定定理得，故C正确； 在D中，若，，则与平行或，故D错误． 故选C． 【答案点睛】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题． 6、A 【答案解析】 求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【题目详解】 抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p＝2， 又e＝p，所以e2，可得c2＝4a2＝a2+b2，可得：ba，所以双曲线的渐近线方程为：y＝±． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用． 7、B 【答案解析】 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案. 【题目详解】 如图所示：连接，根据垂直平分线知， 故，故轨迹为双曲线， ，，，故，故轨迹方程为. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键. 8、C 【答案解析】 将，分别用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示. 【题目详解】 设等差数列的首项为，公差为， 则由，，得解得，， 所以．故选C． 【答案点睛】 本题考查等差数列的基本量的求解，难度较易.已知等差数列的任意两项的值，可通过构建和的方程组求通项公式. 9、D 【答案解析】 集合是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【题目详解】 ， ， 则 故选 【答案点睛】 本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题． 10、C 【答案解析】 试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则， ，渐近线方程为，求出交点，， ，则；选C 考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程； 11、B 【答案解析】 根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案. 【题目详解】 ∵角的终边过点，∴，. ∴. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力. 12、A 【答案解析】 考虑既属于又属于的集合，即得. 【题目详解】 . 故选： 【答案点睛】 本题考查集合的交运算，属于基础题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、2 【答案解析】 由题得,再根据求解即可. 【题目详解】 双曲线的两条渐近线为,可令,,则,所以,解得. 故答案为：2. 【答案点睛】 本题考查双曲线渐近线求离心率的问题.属于基础题. 14、 【答案解析】 依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即． 15、 【答案解析】 设正四棱柱的底面边长，高，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得. 【题目详解】 解：设正四棱柱的底面边长，高， 则， 即 故答案为： 【答案点睛】 本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题. 16、①②③ 【答案解析】 ①点在平面内的正投影为点，而正方体的体对角线与和它不相交的的面对角线垂直，所以直线垂直于平面，而为正三角形，可得为正三角形的重心，所以①是正确的； ②取的中点，连接，则点在平面的正投影在上，记为，而平面平面，所以，所以②正确； ③若设，则由可得，然后对应边成比例，可解，所以③正确； ④由于，而的面积是定值，所以当点到平面的距离最大时，三棱锥的体积最大，而当点与点重合时，点到平面的距离最大，此时为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误. 【题目详解】 因为，连接，则有平面平面为正三角形，所以为正三角形的中心，也是的重心，所以①正确； 由平面，可知平面平面，记， 由，可得平面平面，则，所以②正确； 若平面，则，设由得，易得，由，则，由得，，解得，所以③正确； 当与重合时，最大，为棱长为的正四面体，其外接球半径，则球，所以④错误. 故答案为：①②③ 【答案点睛】 此题考查立体几何中的垂直、平行关系，求几何体的体积，考查空间想象能力和推理能力，属于难题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）（2）存在， 【答案解析】 （1）（i）连接交于点，连接，，依题意易证四边形为平行四边形，从而有，，由此能证明PC∥平面 （ii）推导出，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解； （2）设，求出平面的法向量，利用向量法求解. 【题目详解】 （1）（ⅰ）证明：连接交于点，连接，， 因为为线段的中点， 所以, 因为，所以 因为∥ 所以四边形为平行四边形． 所以 又因为， 所以 又因为平面，平面， 所以平面． （ⅱ）解：如图，在平行四边形中 因为，， 所以 以为原点建立空间直角坐标系 则，，， 所以，，， 平面的法向量为 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 设平面和平面所成的锐二面角为，则 所以锐二面角的余弦值为 （2）设 所以，， 设平面的法向量为，则 ，取，得， 因为直线与平面所成的角的正弦值为， 所以 解得 所以存在满足，使得直线与平面所成的角的正弦值为. 【答案点睛】 此题二查线面平行的证明，考查锐二面角的余弦值的求法，考查满足线面角的正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线，线面，面面的位置关系等知识，考查了推理能力与计算能