2023届江西省赣州市会昌中学高三第二次模拟考试数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项 1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符． 4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点.，且在第一象限，则（ ） A． B． C． D． 2．的展开式中含的项的系数为（ ） A． B．60 C．70 D．80 3．已知，是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点.若依次构成等差数列，且，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 4．已知椭圆的右焦点为F，左顶点为A，点P椭圆上，且，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 5．已知三棱锥的外接球半径为2，且球心为线段的中点，则三棱锥的体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 6．若函数有且仅有一个零点，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 7．在正方体中，E是棱的中点，F是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确的是（ ） A．点F的轨迹是一条线段 B．与BE是异面直线 C．与不可能平行 D．三棱锥的体积为定值 8．已知焦点为的抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，则当取得最大值时，直线的方程为（ ） A．或 B．或 C．或 D． 9．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 10．若集合，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知集合，，则的真子集个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为_____． 14．将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法. 15．过圆的圆心且与直线垂直的直线方程为__________. 16．已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知点是抛物线的顶点，，是上的两个动点，且. （1）判断点是否在直线上？说明理由； （2）设点是△的外接圆的圆心，点到轴的距离为，点，求的最大值. 18．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.点在曲线上，点满足. （1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点的轨迹的极坐标方程； （2）点，分别是曲线上第一象限，第二象限上两点，且满足，求的值. 19．（12分）已知，，. （1）求的最小值； （2）若对任意，都有，求实数的取值范围. 20．（12分）设函数，其中． （Ⅰ）当为偶函数时，求函数的极值； （Ⅱ）若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 21．（12分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求四边形面积的取值范围． 22．（10分）如图，点是以为直径的圆上异于、的一点，直角梯形所在平面与圆所在平面垂直，且，. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、C 【答案解析】 作，；，由题意，由二倍角公式即得解. 【题目详解】 由题意，，准线：， 作，；， 设， 故，， . 故选：C 【答案点睛】 本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 2、B 【答案解析】 展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到，由二项式的通项，可得解 【题目详解】 由题意，展开式中含的项是由的展开式中含和的项分别与前面的常数项和项相乘得到， 所以的展开式中含的项的系数为． 故选：B 【答案点睛】 本题考查了二项式系数的求解，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于基础题. 3、D 【答案解析】 如图所示，设依次构成等差数列，其公差为. 根据椭圆定义得，又，则，解得，.所以，，，. 在和中，由余弦定理得，整理解得.故选D． 4、C 【答案解析】 不妨设在第一象限，故，根据得到，解得答案. 【题目详解】 不妨设在第一象限，故，，即， 即，解得，（舍去）. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力. 5、C 【答案解析】 由题可推断出和都是直角三角形，设球心为，要使三棱锥的体积最大，则需满足，结合几何关系和图形即可求解 【题目详解】 先画出图形，由球心到各点距离相等可得，，故是直角三角形，设，则有，又，所以，当且仅当时，取最大值4，要使三棱锥体积最大，则需使高，此时， 故选：C 【答案点睛】 本题考查由三棱锥外接球半径，半径与球心位置求解锥体体积最值问题，属于基础题 6、D 【答案解析】 推导出函数的图象关于直线对称，由题意得出，进而可求得实数的值，并对的值进行检验，即可得出结果. 【题目详解】 ， 则， ， ，所以，函数的图象关于直线对称. 若函数的零点不为，则该函数的零点必成对出现，不合题意. 所以，，即，解得或. ①当时，令，得，作出函数与函数的图象如下图所示： 此时，函数与函数的图象有三个交点，不合乎题意； ②当时，，，当且仅当时，等号成立，则函数有且只有一个零点. 综上所述，. 故选：D. 【答案点睛】 本题考查利用函数的零点个数求参数，考查函数图象对称性的应用，解答的关键就是推导出，在求出参数后要对参数的值进行检验，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 7、C 【答案解析】 分别根据线面平行的性质定理以及异面直线的定义，体积公式分别进行判断． 【题目详解】 对于，设平面与直线交于点，连接、，则为的中点 分别取、的中点、，连接、、， ，平面，平面， 平面．同理可得平面， 、是平面内的相交直线 平面平面，由此结合平面，可得直线平面， 即点是线段上上的动点．正确． 对于，平面平面，和平面相交， 与是异面直线，正确． 对于，由知，平面平面， 与不可能平行，错误． 对于，因为，则到平面的距离是定值，三棱锥的体积为定值，所以正确； 故选：． 【答案点睛】 本题考查了正方形的性质、空间位置关系、空间角、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 8、A 【答案解析】 过作与准线垂直，垂足为，利用抛物线的定义可得，要使最大，则应最大，此时与抛物线相切，再用判别式或导数计算即可. 【题目详解】 过作与准线垂直，垂足为，， 则当取得最大值时，最大，此时与抛物线相切， 易知此时直线的斜率存在，设切线方程为， 则.则， 则直线的方程为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及到抛物线的定义，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题. 9、C 【答案解析】 先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出. 【题目详解】 设直线的倾斜角为，则， 所以，，即， 所以直线的方程为.当直线的方程为， 联立，解得和，所以； 同理，当直线的方程为.，综上，或.选C. 【答案点睛】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义. 10、D 【答案解析】 由题意，分析即得解 【题目详解】 由题意，故， 故选：D 【答案点睛】 本题考查了元素和集合，集合和集合之间的关系，考查了学生概念理解，数学运算能力，属于基础题. 11、C 【答案解析】 求出的元素，再确定其真子集个数． 【题目详解】 由，解得或，∴中有两个元素，因此它的真子集有3个． 故选：C. 【答案点睛】 本题考查集合的子集个数问题，解题时可先确定交集中集合的元素个数，解题关键是对集合元素的认识，本题中集合都是曲线上的点集． 12、A 【答案解析】 建立平面直角坐标系，求出直线， 设出点，通过，找出与的关系． 通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围． 【题目详解】 以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系， 设，则直线 ， 设点， 所以 由得 ，即 ， 所以， 由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A． 【答案点睛】 本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案． 【题目详解】 ，， 则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为， 故答案为 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题． 14、 【答案解析】 讨论装球盒子的个数，计算得到答案. 【题目详解】 当四个盒子有球时：种； 当三个盒子有球时：种； 当两个盒子有球时：种. 故共有种， 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力. 15、 【答案解析】 根据与已知直线垂直关系，设出所求直线方程，将已知圆圆心坐标代入，即可求解. 【题目详解】 圆心为， 所求直线与直线垂直， 设为，圆心代入，可得， 所以所求的直线方程为. 故答案为：. 【答案点睛】 本题考查圆的方程、直线方程求法，注意直线垂直关系的灵活应用，属于基础题. 16、2 【答案解析】 根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率. 【题目详解】 据题设分析知，，所以，得， 所以双曲线的离心率. 【答案点睛】 本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）不在，证明见详解；（2） 【答案解析】 （1）假设直线方程，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计算，可得，然后验证可得结果. （2）分别计算线段中垂线的方程，然后联立，根据（1）的条件可得点的轨迹方程，然后可得焦点，结合抛物线定义可得，计算可得结果. 【题目详解】 （1）设直线方程， 根据题意可知直线斜率一定存在， 则 则 由 所以 将代入上式 化简可得，所以 则