2023届江苏省镇江市重点中学高三六校第一次联考数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。 2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。 3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A． B． C． D． 2．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（ ） A． B． C．6 D． 3．已知复数满足，则（ ） A． B．2 C．4 D．3 4．已知函，，则的最小值为（ ） A． B．1 C．0 D． 5．已知函数，方程有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合，则“函数有两个零点”是“”的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为( ) A． B．3 C． D． 7．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ） A． B． C．1 D．2 8．存在点在椭圆上，且点M在第一象限，使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论： ①曲线有四条对称轴； ②曲线上的点到原点的最大距离为； ③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为； ④四叶草面积小于. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④ 10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中左视图中三角形为等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积是（ ） A． B． C． D． 11．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（ ） A．-1 B．1 C．0 D．2 12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知两动点在椭圆上，动点在直线上，若恒为锐角，则椭圆的离心率的取值范围为__________． 14．已知，则展开式的系数为__________． 15．若函数，则__________；__________. 16．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数（），不等式的解集为. （1）求的值； （2）若，，，且，求的最大值. 18．（12分）已知函数. （1）当时，判断在上的单调性并加以证明； （2）若，，求的取值范围. 19．（12分）已知椭圆（）经过点，离心率为，、、为椭圆上不同的三点，且满足，为坐标原点． （1）若直线、的斜率都存在，求证：为定值； （2）求的取值范围． 20．（12分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，，，连接是边上一点，过作，交于点，沿将向上翻折，得到如图2所示的六面体 （1）求证： （2）设若平面底面，若平面与平面所成角的余弦值为，求的值； （3）若平面底面，求六面体的体积的最大值. 21．（12分）已知函数，其中为实常数. （1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围； （2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：. 22．（10分）已知. （Ⅰ） 若，求不等式的解集； （Ⅱ），，，求实数的取值范围. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 由直线过椭圆的左焦点，得到左焦点为，且， 再由，求得，代入椭圆的方程，求得，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解. 【题目详解】 由题意，直线经过椭圆的左焦点，令，解得， 所以，即椭圆的左焦点为，且 ① 直线交轴于，所以，， 因为，所以，所以， 又由点在椭圆上，得 ② 由，可得，解得， 所以， 所以椭圆的离心率为. 故选A. 【答案点睛】 本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)． 2、D 【答案解析】 先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解. 【题目详解】 由题意，则，，得，由定义知， 故选:D. 【答案点睛】 此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目. 3、A 【答案解析】 由复数除法求出，再由模的定义计算出模． 【题目详解】 ． 故选：A． 【答案点睛】 本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题． 4、B 【答案解析】 ，利用整体换元法求最小值. 【题目详解】 由已知， 又，，故当，即时，. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题. 5、A 【答案解析】 作出函数的图象，得到，把函数有零点转化为与在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断． 【题目详解】 作出函数的图象如图， 由图可知，， 函数有2个零点，即有两个不同的根， 也就是与在上有2个交点，则的最小值为； 设过原点的直线与的切点为，斜率为， 则切线方程为， 把代入，可得，即，∴切线斜率为， ∴k的取值范围是， ∴函数有两个零点”是“”的充分不必要条件， 故选A． 【答案点睛】 本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题． 6、B 【答案解析】 根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得. 【题目详解】 由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数， 所以， 解得， 故选：B. 【答案点睛】 本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题. 7、C 【答案解析】 每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案. 【题目详解】 每一次成功的概率为，服从二项分布，故. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 8、D 【答案解析】 根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【题目详解】 因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为, 由,解得,即,所以, 所以. 故选：D 【答案点睛】 本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题. 9、C 【答案解析】 ①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于. 【题目详解】 ①：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称； 综上可知：有四条对称轴，故正确； ②：因为，所以， 所以，所以，取等号时， 所以最大距离为，故错误； ③：设任意一点，所以围成的矩形面积为， 因为，所以，所以， 取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确； ④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部， 因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查曲线与方程的综合运用，其中涉及到曲线的对称性分析以及基本不等式的运用，难度较难.分析方程所表示曲线的对称性，可通过替换方程中去分析证明. 10、C 【答案解析】 作出三视图所表示几何体的直观图，可得直观图为直三棱柱，并且底面为等腰直角三角形，即可求得外接球的半径，即可得外接球的体积. 【题目详解】 如图为几何体的直观图，上下底面为腰长为的等腰直角三角形，三棱柱的高为4，其外接球半径为，所以体积为. 故选：C 【答案点睛】 本题考查三视图还原几何体的直观图、球的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，求解时注意球心的确定. 11、B 【答案解析】 化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案. 【题目详解】 为纯虚数，故且，即. 故选：. 【答案点睛】 本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 12、B 【答案解析】 根据f（x）是R上的奇函数，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期为4，而由x∈[0，1]时，f（x）=2x-m及f（x）是奇函数，即可得出f（0）=1-m=0，从而求得m=1，这样便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1． 【题目详解】 ∵是定义在R上的奇函数，且； ∴； ∴； ∴的周期为4； ∵时，； ∴由奇函数性质可得； ∴； ∴时，； ∴. 故选：B. 【答案点睛】 本题考查利用函数的奇偶性和周期性求值，此类问题一般根据条件先推导出周期，利用函数的周期变换来求解，考查理解能力和计算能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、 【答案解析】 根据题意可知圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直，恒为锐角，只需直线 与圆相离，从而可得，解不等式，再利用离心率即可求解. 【题目详解】 根据题意可得，圆上任意一点向椭圆所引的两条切线互相垂直， 因此当直线 与圆相离时， 恒为锐角， 故，解得 从而离心率. 故答案为： 【答案点睛】 本题主要考查了椭圆的几何性质，考查了逻辑分析能力，属于中档题. 14、 【答案解析】 先根据定积分求出的值，再用二项展开式公式即可求解. 【题目详解】 因为 所以 的通项公式为 当时， 当时， 故展开式中的系数为 故答案为： 【答案点睛】 此题考查定积分公式，二项展开式公式等知识点，属于简单题目. 15、0 1 【答案解析】 根据分段函数解析式，代入即可求解. 【题目详解】 函数， 所以， . 故答案为：0；1. 【答案点睛】 本题考查了分段函数求值的简单应用，属于基础题. 16、2 【答案解析】 先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解. 【题目详解】 解：设公比为，且， 时，上式有最小值， 故答案为：2. 【答案点睛】 本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）（2）32 【答案解析】 利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集,得到关于的方程,求出的值即可; 由知可得,，利用三个正数的基本不等式,构造和是定值即可求出的最大值. 【题目详解】 （1）∵， ， 所以不等式的解