2023届江西省宁都县宁师中学高三第二次诊断性检测数学试卷（含解析）.doc

2023学年高考数学模拟测试卷 注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( ) A． B． C． D． 2．设是等差数列的前n项和，且，则( ) A． B． C．1 D．2 3．已知向量，若，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 4．已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知是函数的极大值点，则的取值范围是 A． B． C． D． 6．已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，其中点在第一象限，若弦的长为，则（ ） A．2或 B．3或 C．4或 D．5或 7．在复平面内，复数z=i对应的点为Z，将向量绕原点O按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数是（ ） A． B． C． D． 8．设集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A． B．2 C．3 D． 10．已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记为数阵从左至右的列，从上到下的行共个数的和，则数列的前2020项和为（ ） A． B． C． D． 11．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ） A． B． C． D． 12．若复数满足，则的虚部为（ ） A．5 B． C． D．-5 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若，则________. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作一条直线交椭圆于点、.则内切圆面积的最大值是_________. 15．已知函数，若，则___________. 16．在中，若，则的范围为________. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12分）已知函数. （1）若，，求函数的单调区间； （2）时，若对一切恒成立，求a的取值范围. 18．（12分）已知函数. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，且，求的值. 19．（12分）设函数f(x)=x2−4xsinx−4cosx． （1）讨论函数f(x)在[−π，π]上的单调性； （2）证明：函数f(x)在R上有且仅有两个零点． 20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为：（其中为参数），直线的参数方程为（其中为参数） （1）以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线的极坐标方程； （2）若曲线与直线交于两点，点的坐标为，求的值. 21．（12分）已知函数， （Ⅰ）当时，证明； （Ⅱ）已知点，点，设函数，当时，试判断的零点个数． 22．（10分）已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）设函数的极值点为，当变化时，点构成曲线，证明：过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点. 2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、A 【答案解析】 设球心为，三棱柱的上底面的内切圆的圆心为，该圆与边切于点，根据球的几何性质可得为直角三角形，然后根据题中数据求出圆半径，进而求得球的半径，最后可求出球的体积． 【题目详解】 如图，设三棱柱为，且，高． 所以底面为斜边是的直角三角形，设该三角形的内切圆为圆，圆与边切于点， 则圆的半径为． 设球心为，则由球的几何知识得为直角三角形，且， 所以， 即球的半径为， 所以球的体积为． 故选A． 【答案点睛】 本题考查与球有关的组合体的问题，解答本题的关键有两个： （1）构造以球半径、球心到小圆圆心的距离和小圆半径为三边的直角三角形，并在此三角形内求出球的半径，这是解决与球有关的问题时常用的方法． （2）若直角三角形的两直角边为，斜边为，则该直角三角形内切圆的半径，合理利用中间结论可提高解题的效率． 2、C 【答案解析】 利用等差数列的性质化简已知条件，求得的值. 【题目详解】 由于等差数列满足，所以，，. 故选：C 【答案点睛】 本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题. 3、D 【答案解析】 由两向量垂直可得，整理后可知，将已知条件代入后即可求出实数的值. 【题目详解】 解：，，即， 将和代入，得出，所以. 故选:D. 【答案点睛】 本题考查了向量的数量积，考查了向量的坐标运算.对于向量问题，若已知垂直，通常可得到两个向量的数量积为0，继而结合条件进行化简、整理. 4、A 【答案解析】 根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可. 【题目详解】 当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立， 若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立， 则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件， 故选：A. 【答案点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 5、B 【答案解析】 方法一：令，则，， 当，时，，单调递减， ∴时，，，且， ∴，即在上单调递增， 时，，，且， ∴，即在上单调递减，∴是函数的极大值点，∴满足题意； 当时，存在使得，即， 又在上单调递减，∴时，，所以， 这与是函数的极大值点矛盾． 综上，．故选B． 方法二：依据极值的定义，要使是函数的极大值点，须在的左侧附近，，即；在的右侧附近，，即．易知，时，与相切于原点，所以根据与的图象关系，可得，故选B． 6、C 【答案解析】 先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出. 【题目详解】 设直线的倾斜角为，则， 所以，，即， 所以直线的方程为.当直线的方程为， 联立，解得和，所以； 同理，当直线的方程为.，综上，或.选C. 【答案点睛】 本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理.出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物线的定义. 7、A 【答案解析】 由复数z求得点Z的坐标，得到向量的坐标，逆时针旋转，得到向量的坐标，则对应的复数可求. 【题目详解】 解：∵复数z=i（i为虚数单位）在复平面中对应点Z（0，1）， ∴＝(0，1)，将绕原点O逆时针旋转得到， 设＝(a，b)，， 则， 即， 又， 解得：， ∴， 对应复数为. 故选：A. 【答案点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题. 8、C 【答案解析】 由得出，利用集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【题目详解】 ，且，，. 因此，实数的取值范围是. 故选：C. 【答案点睛】 本题考查利用集合的包含关系求参数，考查计算能力，属于基础题. 9、A 【答案解析】 由奇函数定义求出和． 【题目详解】 因为是定义在上的奇函数，.又当时，，. 故选：A． 【答案点睛】 本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键． 10、D 【答案解析】 由题意，设每一行的和为，可得，继而可求解，表示，裂项相消即可求解. 【题目详解】 由题意，设每一行的和为 故 因此： 故 故选：D 【答案点睛】 本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 11、D 【答案解析】 试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D. 考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算. 12、C 【答案解析】 把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【题目详解】 由（1+i）z＝|3+4i|， 得z， ∴z的虚部为． 故选C． 【答案点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、13 【答案解析】 由导函数的应用得：设，， 所以，，又，所以，即， 由二项式定理：令得：，再由，求出，从而得到的值； 【题目详解】 解：设，， 所以，， 又，所以， 即， 取得：， 又， 所以， 故， 故答案为：13 【答案点睛】 本题考查了导函数的应用、二项式定理，属于中档题 14、 【答案解析】 令直线：，与椭圆方程联立消去得，可设，则，．可知，又，故．三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，则内切圆半径，其面积最大值为．故本题应填． 点睛：圆锥曲线中最值与范围的求法有两种：(１)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法．(２)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法，判别式法，重要不等式及函数的单调性法等． 15、 【答案解析】 根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用函数奇偶性的性质求解即可. 【题目详解】 因为函数，其定义域为， 所以其定义域关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数，因为， 所以. 故答案为: 【答案点睛】 本题考查函数奇偶性的判断及其性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数奇偶性的判断方法是求解本题的关键;属于中档题、常考题型. 16、 【答案解析】 借助正切的和角公式可求得，即则通过降幂扩角公式和辅助角公式可化简,由，借助正弦型函数的图象和性质即可解得所求. 【题目详解】 ， 所以， . 因为，所以， 所以. 故答案为: . 【答案点睛】 本题考查了三角函数的化简,重点考查学生的计算能力,难度一般. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、（1）单调递减区间为，单调递增区间为 ；（2） 【答案解析】 （1）求导，根据导数与函数单调性关系即可求出. （2）解法一：分类讨论：当时，观察式子可得恒成立；当时，利用导数判断函数为单调递增，可知；当时，令，由，，根据零点存在性定理可得，进而可得在上，单调递减，即不满足题意；解法二：通过分离参数可知条件等价于恒成立，进而记，问题转化为求在上的最小值问题，通过二次求导，结合洛比达法则计算可得结论. 【题目详解】 （1）当，，， ， 令，解得， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增. （2）解法一：当时，函数， 若时，此时对任意都有， 所以恒成立； 若时，对任意都有，， 所以，所以在上为增函数， 所以，即时满足题意； 若时，令， 则，所以在上单调递增， ，， 可知，一定存在使得， 且当时，，所以在上，单调递减， 从而有时，，不满足题意； 综上可知，实数a的取值范围为. 解法二：当时，函数， 又当时，， 对一切恒成立等价于恒成立， 记，其中，则， 令，则， 在上单调递增，， 恒成立，从而在上单调递增，， 由洛比达法则